Encontrar el vacío que rompe una simetría

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Encontrar el vacío que rompe una simetría

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Física
mentira-álgebra
modelo estandar
ruptura de simetría
más allá del modelo estándar

KoObO

Comenzaré con un ejemplo. Considere un patrón de ruptura de simetría como $SU(4)\rightarrow Sp(4)$ . Sabemos que en $SU(4)$ existe la simetría del modelo estándar (SM) $SU(2)_L\times U(1)_Y$ pero dependiendo de qué vacío usemos para romper esta simetría, en un caso puedes romper totalmente la simetría SM, con el vacío:

Σ_{1} = (\begin{matrix} 0 & {yo}_{2} \\ - {yo}_{2} & 0 \end{matrix})

$\Sigma_1 = \begin{pmatrix} 0& I_2 \\ -I_2 & 0 \end{pmatrix}$ y en otro caso, se conserva esta simetría, con el vacío

Σ_{2} = (\begin{matrix} i σ_{2} & 0 \\ 0 & i σ_{2} \end{matrix})

$\Sigma_2 = \begin{pmatrix} i\sigma_2& 0 \\ 0 & i\sigma_2 \end{pmatrix}$ En el primer caso (con

Σ_{1}

$\Sigma_1$ ), los generadores correspondientes a la simetría SM son parte de los generadores rotos por lo que la simetría SM está totalmente rota. En el segundo caso (

Σ_{2}

$\Sigma_2$ ), los generadores de SM son parte de los generadores ininterrumpidos, por lo que se conserva la simetría de SM. Como puedes leer, ¡sé las respuestas pero no cómo encontrarlas!

Entonces, mis preguntas son:

¿Cómo es posible en general (no sólo para el $SU(4)\rightarrow Sp(4)$ patrón de ruptura) para construir el vacío que rompe la simetría?
¿Es posible, al construir el vacío, asegurarse de que el vacío romperá (o no) una subsimetría como la simetría SM en el ejemplo anterior?

petirrojo

Es una pregunta interesante. Tal vez lo que está buscando es el tensor más general que es invariante bajo el subgrupo . los

S p

$Sp$ grupos preservan precisamente su

Σ_{1}

$\Sigma_1$ y ningún otro tensor (Lin. Indep.).

KoObO

Tiene razón para el caso en el que desea conservar la simetría SM, pero no si desea romper esta simetría...

petirrojo

Lo que quiero decir es que si quieres romper

G

$G$ a su subgrupo

H

$H$ , cualquier VEV debe ser tensor invariante bajo

H

$H$ . Por ejemplo, cuando rompemos

S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}

$SU(2)_L \times U(1)_Y$ a

U (1)_{EM}

$U(1)_\text{EM}$ , el Higgs VEV es un

S U (2)_{L} \times U (1)_{Y}

$SU(2)_L \times U(1)_Y$ tensorial invariante bajo

U (1)_{EM}

$U(1)_\text{EM}$ (es decir, es eléctricamente neutro). No he visto aplicaciones en las que determinar el vacío fuera importante, solo qué simetrías preservó.

Siva

Si un vacío no rompe la simetría, entonces el generador intacto debe aniquilar el vacío. Entonces, el problema se puede traducir a encontrar vectores propios nulos de los generadores intactos que no son vectores propios nulos de los generadores rotos. Me pregunto si hay un argumento teórico de representación desde este punto.

cuchillos

Tal vez esté un poco por encima de mi cabeza, pero el potencial que elijas decide cómo se rompe la simetría. ¿Estás preguntando cómo eliges tu potencial?

Respuestas (2)

Encontrar el vacío que rompe una simetría

Es una pregunta interesante. Tal vez lo que está buscando es el tensor más general que es invariante bajo el subgrupo . los $Sp$ grupos preservan precisamente su $\Sigma_1$ y ningún otro tensor (Lin. Indep.).
Tiene razón para el caso en el que desea conservar la simetría SM, pero no si desea romper esta simetría...
Lo que quiero decir es que si quieres romper $G$ a su subgrupo $H$ , cualquier VEV debe ser tensor invariante bajo $H$ . Por ejemplo, cuando rompemos $SU(2)_L \times U(1)_Y$ a $U(1)_\text{EM}$ , el Higgs VEV es un $SU(2)_L \times U(1)_Y$ tensorial invariante bajo $U(1)_\text{EM}$ (es decir, es eléctricamente neutro). No he visto aplicaciones en las que determinar el vacío fuera importante, solo qué simetrías preservó.
Si un vacío no rompe la simetría, entonces el generador intacto debe aniquilar el vacío. Entonces, el problema se puede traducir a encontrar vectores propios nulos de los generadores intactos que no son vectores propios nulos de los generadores rotos. Me pregunto si hay un argumento teórico de representación desde este punto.
Tal vez esté un poco por encima de mi cabeza, pero el potencial que elijas decide cómo se rompe la simetría. ¿Estás preguntando cómo eliges tu potencial?

Cosmas Zachos · Answer 1

Como su texto de teoría QFT debería decirle, para una acción invariante bajo G , la adición de un potencial de Higgs solo invariante bajo su subgrupo H romperá espontáneamente los generadores en G/H . Debe hacer la diligencia debida y estudiar, comprender y reproducir todos los ejemplos de clásicos elementales como Ling-Fong Li, PhysRev D9 (1974) 1723 . ¡Hay, por supuesto, demasiados tratados de este tipo en la literatura gimiente!
Por lo general, es posible, pero esta es una pregunta que depende de las circunstancias particulares de G y H. Si es ambicioso, podría revisar las tablas del artículo de revisión de Slansky de 1981 para tranquilizarse. Para su ejemplo particular anterior, la respuesta es "sí". SU(4) tiene 15 generadores, Sp(4) tiene 10 y SM tiene solo 4. Preservando su métrica simpléctica $\Sigma_1$ conserva Sp(4) , pero puede verificar escribiendo los generadores que la alternativa no lo hace; sin embargo puedes reescribir $\Sigma_2= 1\!\!\! 1 \otimes i\sigma_2$ con la matriz identidad 2x2 a la izquierda, preservando SU(2) por supuesto; ¡ y el grupo correcto se preserva trivialmente a sí mismo, un U(1) , como mínimo !

mikev · Answer 2

Según entiendo, la pregunta es: ¿cuáles son los posibles subgrupos ininterrumpidos cuando un grupo de simetría G se rompe espontáneamente? Si asumimos que la invariancia de Lorentz no se rompe, entonces podemos ver los posibles valores esperados de vacío de un campo escalar que se transforma bajo alguna representación R del grupo de simetría G. Esto se puede calcular para G y R específicos, como en los ejemplos ya enumerados, pero los resultados generales son pocos.

Un campo escalar que se transforma como un vector bajo SU(n) [o SO(n)] puede descomponer estas simetrías en SU(n-1) $\otimes$ U(1) [o SO(n-1)], ya que las transformaciones de grupo en el subespacio ortogonal a la dirección del VEV dejan invariante el vacío. Hay muchos otros ejemplos en la literatura.

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