¿En qué ángulo de pendiente es más rápido un corredor que un ciclista?

Al menos podemos calcular el ángulo en el que la bicicleta ya no puede avanzar. Para mantener cualquier velocidad vertical no negativa, la fuerza de salida promediada por la distancia aplicada por el ciclista al suelo a través de la rueda trasera debe ser igual a la fuerza de la gravedad en un plano inclinado:

$\bar F_\text{out} = g(m_\text{man}+m_\text{bike})\sin(\theta)$

Dejar$D$ser el doble de la longitud de la manivela del pedal de la bicicleta, es decir, el doble de la distancia del pedal al centro del engranaje delantero.

Dejar$L$ser el desplazamiento mínimo de la rueda a lo largo de la pendiente por media revolución de la manivela

$L = \frac{\pi}{2} \times \text {(Wheel diameter) (number of front teeth) / (number of rear teeth)}$

La relación entre la fuerza de salida y la de entrada para la bicicleta es$R = \frac {\pi D}{2L} = F_\text{out}/F_\text{in}$

Así que en el punto donde$\bar F_\text{in} = \frac{g}{R}(m_\text{man}+m_\text{bike})\sin(\theta)$excede la fuerza máxima que el atleta puede aplicar al pedal sin caerse (o saltar), el ciclista ya no puede avanzar. Esto debe ser menor que$gm_\text{man}$, o el ciclista saltará.$^1$

$\theta_\text{max} \lt \arcsin\left(\frac{Rm_\text{man}}{m_\text{man}+m_\text{bike}}\right)$

Para un hombre de 70 kg y una bicicleta de 10 kg, con un mínimo$L$de$25\pi$cm y un$D$de$34$cm dando$R = 0.68$, eso da

$\theta_\text{max} \lt 37 ^\circ$

Esta es una pendiente considerablemente más alta de lo que consideraría posible subir en bicicleta, lo que probablemente refleja el hecho de que equilibrar todo su peso en un pedal en movimiento de una bicicleta que se mueve lentamente, solo para evitar rodar cuesta abajo, es mucho más difícil que simplemente bajarse y caminar. (Sin mencionar que es más lento y es probable que dañe la cadena o la manivela).

Con Superman y una bicicleta indestructible especialmente diseñada, se podría lograr cualquier ángulo, ya que el atleta podría, hipotéticamente, levantar la bicicleta para contrarrestar la presión sobre los pedales y superar con creces su propio peso en empuje. Sin embargo, tal atleta sería más adecuado para saltar la colina de un solo salto.

1: He asumido que el ciclista (a excepción de Superman y su superbike) no tiene una buena manera de subirse a la bicicleta en una postura de ciclismo normal. Puede ser posible ejercer más fuerza sobre la manivela tirando hacia arriba con el pie opuesto, si el atleta está enganchado a los pedales. Esto cambiaría el problema de una pregunta sobre la fuerza máxima a una pregunta sobre el par lateral máximo que se puede aplicar sin voltear la bicicleta, que a su vez es una pregunta sobre qué tan bien y qué tan lejos el atleta puede alternar inclinarse hacia adelante y hacia atrás para contrarrestar. . Creo que eso pone la pregunta fuera del alcance de un enfoque de primeros principios.

Un neumático de bicicleta de carreras típico tiene una circunferencia de poco más de 2 metros. Una marcha realmente baja tiene una relación de 1, lo que significa que un círculo de los pedales gira la rueda trasera solo 1 vez. Entonces, esto significaría que empujar el pie derecho desde las 12 en punto hasta las 6 en punto y levantarlo nuevamente hasta la posición de las 12 en punto movería la bicicleta 2 metros hacia adelante. Eso sería el equivalente a dar dos zancadas completas al correr.

Si corre cuesta arriba, no creo que pueda avanzar 1 metro en una zancada completa. La razón es que con la inclinación, tu zancada se vuelve más corta. En terreno llano, fácilmente podría tener zancadas de más de 1 metro, pero no cuesta arriba.

Lo que pasa con las bicicletas de carreras, con los pedales adecuados, es que tienes potencia tanto en la carrera hacia abajo como en la carrera hacia arriba. De hecho, un buen corredor tiene potencia para los 360 grados completos del círculo. Esta fue una parte muy importante de mi entrenamiento cuando corría. Pero un corredor solo tiene potencia en la carrera descendente; la carrera ascendente es una pérdida total de tiempo y esfuerzo.

Entonces, si asumimos que no hay deslizamiento con los neumáticos en el suelo, no puedo ver ningún punto en el que sea más rápido correr. Sin embargo, sé que en las carreras de motocross, el deslizamiento en el barro es un problema importante, por lo que a menudo desmontan y corren (o mejor caminan) cuesta arriba.

Entonces, desde un punto de vista puramente físico, creo que andar en bicicleta siempre sería más rápido.

Sin embargo, creo que si estuvieras mirando carreras en terreno llano, y si la carrera fuera muy corta, digamos 10 metros, entonces correr probablemente sería más rápido que andar en bicicleta porque la aceleración sería mucho más lenta para el ciclista mientras que el corredor podría explotar. más de 1 metro por zancada muy rápidamente.

Para evitar malentendidos: aunque esta publicación termina con un número, solo estoy tratando de establecer una línea de base en el reverso de un sobre. Todos los números concretos son conjeturas o números convenientes (¡oye, 0,1 m/s!), las suposiciones biomecánicas concretas son irrisorias, etc., pero estoy convencido de que describí la esencia del problema en caso de que alguien quiera desarrollarlo con datos adecuados.

Para obtener un ángulo de la pregunta, primero debemos establecer lo obvio: la velocidad (en un equilibrio sostenido, sin consideraciones de inercia) no puede exceder el estado en el que la potencia máxima (energía/tiempo) que genera la persona que corre o monta en bicicleta es igual a la ganancia de potencial. energía más las pérdidas por fricción (internamente, en los músculos, etc., y externamente a través de la resistencia del aire y la fricción de los cojinetes de la bicicleta y el contacto con el suelo). Las velocidades más altas siempre aumentan la fricción y la velocidad a la que crece la energía potencial; en algún momento no queda energía para aumentar la velocidad.

A partir de estos primeros principios no hay ventaja ni para andar en bicicleta ni para correr; ambos operan dentro de esta restricción. No se puede vencer a la física.

La parte restante de la respuesta es ingeniería más que física pura.

Primero necesitamos entender por qué una bicicleta en un terreno llano puede ir más rápido que un corredor a pesar de que operan bajo la misma restricción física. Creo que el factor limitante para un corredor es el movimiento de las piernas hacia adelante y hacia atrás. Las piernas han evolucionado para operar de manera eficiente al caminar normal y velocidades de carrera sostenidas cuando la gravedad puede ayudar en parte del ciclo de movimiento. Sin embargo, para correr a alta velocidad, la gravedad es demasiado lenta. Las piernas deben ir hacia adelante y hacia atrás más rápido de lo que caerían, y un corredor debe usar la fuerza muscular para superar la inercia de la pierna y acelerarla cada vez más activamente. Si bien no se acumula energía cinética (las piernas pasan por el mismo ciclo una y otra vez), los músculos crean mucha fricción, lo que se puede ver en el sudor que necesitamos para disipar el calor generado.

Podemos obtener un orden de magnitud para eso con un cálculo al dorso del sobre. Supongamos que una pierna tiene una masa de 20 kg y el corredor va a 36 km/h, o 10 ms/s. Esa es la velocidad que tienen sus pies en relación con el cuerpo cuando están en el suelo. El centro de masa de la pata, que se supone que está a mitad de camino por simplicidad, se moverá a 5 m/s. Esta velocidad debe alcanzarse en un cuarto de ciclo (a la mitad del movimiento de la pierna hacia adelante y del movimiento hacia atrás). Con una zancada de 1,5 m, la frecuencia de un ciclo, que consta de dos zancadas, será$\frac{10m/s}{2*1.5m} = 3 \frac{1}{3} Hz$; el periodo es$T=0.3s$. La pierna debe acelerar en un cuarto de eso (la primera mitad de un medio paso), 0.075s. Por lo tanto, su aceleración es$\frac{5m/s}{0.075s} \approx 67m/s^2$. La fuerza resultante sobre la pierna es${67m/s^2} * 20kg = 1333N$, equivalente a 140kg. (Eso suena un poco exagerado, ¿cometí un error de cálculo o estimación? Pero tal vez, junto con las ventajas biomecánicas como la elasticidad, los movimientos cíclicos, etc., es realista).

Línea de fondo:

Correr rápido necesita mucho trabajo muscular solo para acelerar las piernas, lo que pierde mucha energía para calentar.

El factor limitante al correr es la mecánica de nuestras piernas y músculos que limitan la rapidez con la que podemos mover las piernas hacia adelante y hacia atrás.

Para andar en bicicleta, esta limitación se pasa por alto con marchas: podemos cambiar a marchas más altas hasta que la resistencia del viento sea tan grande que no podamos reunir más fuerza en las piernas para superarla, momento en el cual solo podemos andar más rápido pedaleando más rápido para "correr" hacia el mismo problema que el corredor.

A modo de ilustración, imagine que conduce en una llanura con una marcha baja que requiere pedalear a la misma frecuencia que un corredor mueve las piernas, digamos un ciclo completo/3 m. Asumiría que es difícil mover las piernas más rápido que quizás 3 Hz tanto para un corredor (Usain Bolt lo hizo a 44 km/h) como para un ciclista que pedalea como loco casi sin resistencia.

Ahora, cuando corremos o montamos cuesta arriba, la velocidad de ascenso sostenida será tan baja que la frecuencia de los movimientos de las piernas ya no será un factor limitante. Todo se reducirá a la ganancia de energía potencial. Y aquí el ciclista tiene una desventaja del tamaño de un elefante en la habitación: la bicicleta ;-).

Asumiría que con el equipo adecuado, el ciclista tendría una velocidad similar a la de un corredor que lleva una bicicleta; no hay razón para que no. La mecánica de la bicicleta y la resistencia a la rodadura necesitan un poco de exceso de energía, pero supongo que el pedaleo cíclico tiene menos fricción muscular que caminar, lo que esencialmente mueve las piernas "vacías" la mitad del tiempo. Los pedales profesionales, por el contrario, tienen mecanismos de encaje en los zapatos para que el ciclista pueda tirar durante la pendiente ascendente del ciclo de pedaleo, minimizando así el movimiento muerto. Eso debería compensar las pérdidas mecánicas de calor, pero probablemente no para levantar la bicicleta.

Con estas consideraciones, ahora podemos hacer una estimación de la velocidad a la que debería disminuir la ventaja del ciclista sobre el corredor: cuando el movimiento de la pierna se vuelve lo suficientemente lento como para que no se necesite mucha acción muscular para acelerarlo. Eso debería ser alrededor del momento en que la aceleración necesaria esté cerca de la g de la Tierra , si nuestra suposición sostiene que el movimiento normal de las piernas ha evolucionado para explotar la asistencia de la gravedad para balancearlas hacia adelante y hacia atrás cuando están descargadas.

Como estimación, dijimos que una zancada es de 1,5 m. En esa distancia, la pierna se acelera hasta que toca el suelo donde tiene la velocidad relativa del corredor, antes de que se levante y desacelere nuevamente mientras el corredor está en el aire. Supongamos que la aceleración real asistida por la gravedad es de aproximadamente 1/2 g porque la pierna no se mueve verticalmente sino que sigue una curva, podemos calcular el tiempo t que necesita para viajar desde una posición superior hasta el suelo desde

$s = 1/2 a t^2$

que resolvemos para t:

$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$

si asumimos$a = 5 m/s^2$y$s = 0.75 m$tenemos$t = \sqrt{\frac{1.5m}{5m/s^2}} = \sqrt{0.3s^2} = 0.54s$. Como se trata de un cuarto de un ciclo completo, el período T es de aproximadamente 2 s y la frecuencia de aproximadamente 1/2 Hz ¹ . Cada ciclo completo, dos zancadas, mueve al corredor 3 m, de modo que tenemos una velocidad de 3 m/2 s o 1,5 m/s o 5,4 km/h, una velocidad de marcha muy rápida.

Recordemos que pensamos que la desventaja de un corredor es la aceleración de piernas más allá de la asistencia de gravedad, y supongamos que el ciclista siempre tiene la marcha perfecta para que su ventaja sea no tener que hacer ningún trabajo de aceleración en sus piernas.

Entonces, el punto de equilibrio para el corredor será cuando el ángulo cuesta arriba sea tan pronunciado que a la velocidad de carrera "natural" asistida por la gravedad de 1,5 m/s, todo el trabajo se convierta en energía potencial a través de la ganancia de altitud (y no se pierda nada en la pierna) . aceleración).

Al ciclista en este ángulo no le quedaría ninguna ventaja porque tampoco podría ir más rápido, por la física (y la biología).

Calcularemos la ganancia/s de altitud para una potencia humana sostenida moderada de 100 vatios y luego veremos qué ángulo corresponde a los 1,5 m/s anteriores.

Por cierto, peso alrededor de 1000N. Con una salida de potencia sostenida de 100 W (o 100 Nm/s), por lo tanto, puedo subir a una velocidad de 0,1 m/s (solo tienes que amar las unidades SI). Eso sería 100 m en 1000 o 20 minutos más o menos ( parece correcto ). Esta debería ser la velocidad de ascenso a la que la diferencia entre un ciclista y un corredor difiere solo por el peso de la bicicleta, lo que hace que el ciclista sea un 10% más lento.

Si observamos el triángulo en su diagrama y dibujamos el triángulo de la pendiente recorrida a 1,5 m/s (una hipotenusa de 1,5 m) y la ganancia de altitud máxima sostenible por segundo (el lado vertical de 0,1 m), llegamos a una pendiente del 6,6%.

Aunque especialmente las suposiciones sobre la mecánica de las piernas eran toscas y la cinética de las piernas estaba terriblemente simplificada, el resultado no es del todo inverosímil para una persona pesada promedio como yo. Para una persona con menor masa y mayor potencia, la pendiente podría ser dos o tres veces más pronunciada, por ejemplo, en el Tour de Francia.

_{¹ Obtenemos una aproximación similar considerando la pierna como un péndulo con el centro de masa en la rodilla, a unos L=50 cm de la articulación de la cadera. Con la gravedad de la Tierra de g, el período T de un péndulo con amplitud pequeña es$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{9.81}} \approx 2\pi*0.22 \approx 1.35s.$ Las calculadoras de péndulo que corrigen grandes amplitudes dan alrededor de 1,5 s para ángulos de 60° con respecto a la vertical. En cualquier caso, está en el mismo estadio de béisbol que el cálculo en el texto, por crudos que sean ambos. Un período más corto indicaría un punto de equilibrio más rápido con el ciclista.}

No puede encontrar una fórmula para esto porque depende de docenas de propiedades individuales.

Por ejemplo, un ciclista experto se beneficiará más de la bicicleta, por lo que querrá usar la bicicleta en un ángulo más alto.

Bajo la lluvia, la fórmula cambia. En la oscuridad, la fórmula cambia. Así sucesivamente y así sucesivamente.

Como caso interesante, vale la pena señalar que las relaciones de transmisión que puede seleccionar son limitadas. Puede quedar atrapado en una bicicleta usando los músculos de las piernas de manera ineficiente. Al correr, siempre puedes dar zancadas más cortas. En algún ángulo, me vuelvo incapaz de avanzar en mi bicicleta en su configuración de marcha más baja y, por lo tanto, ¡es fácil demostrar que correr es más rápido en ese punto!