En lugar de deformar el espacio-tiempo, ¿se puede representar la gravedad mediante tasas de tiempo que varían localmente?

No. Este tipo de propuesta puede "controlar" como máximo un componente independiente del tensor de curvatura de Riemann (a través de un parámetro de tasa), y habitualmente nos encontramos con métricas en la teoría gravitatoria que tienen una curvatura espacial pura, así como también componentes temporales del tensor de curvatura.

Véase, como ejemplo, la métrica FLRW para la cual:

$$\begin{array}{lcl}R_{tt}& =& - 3 \frac{\ddot{a}}{a}\\ R_{rr} &=&\frac{c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k}{1 - kr^2}\\ R_{\theta\theta} &=& r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)\\ R_{\phi\phi} &=&r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)\sin^2(\theta)\end{array}$$

donde uno tiene dos parámetros independientes, el factor de escala$a(t)$(que podría interpretarse como la "perilla de control" en la propuesta del OP) y la curvatura espacial. Es cierto que uno puede normalizar las ecuaciones, pero aún le quedan tres posibilidades fundamentalmente distintas$k=\pm1$y$k=0$. Además, uno puede, por supuesto, encontrar métricas mucho más complicadas y no homogéneas como soluciones válidas para las ecuaciones de campo de Einstein.

Antes de responder a esta pregunta, creo que es apropiado discutir lo que se pregunta. Como explica Rod, ciertamente hay soluciones para las ecuaciones del campo de Einstein que no pueden explicarse con un solo parámetro. Sin embargo, la pregunta tal como está formulada parece suponer que existe una forma universal de definir qué tan rápido pasa el tiempo. Lo que se entiende por dilatación del tiempo es que difiere el tiempo adecuado a lo largo de dos curvas temporales diferentes que conectan dos eventos. Esto puede ocurrir en el espacio-tiempo de Minkowski, donde el marco de referencia universal nos facilita las cosas, y puede ocurrir en espacios-tiempo curvos. Desde este punto de vista, la pregunta quizás debería reformularse como:

¿Se pueden reconstruir los efectos de la curvatura del espacio-tiempo a partir del conocimiento de la dilatación del tiempo a lo largo de todos los caminos similares al tiempo? Posiblemente mediante la introducción de nuevas ecuaciones dinámicas que vinculan la dilatación del tiempo con otros efectos observables.

Si este fuera el caso, se podría decir que la curvatura del espacio-tiempo podría explicarse por completo solo considerando la dilatación del tiempo. Ahora, tiempo propio a lo largo de una curva,$\gamma$, se encuentra integrando la métrica a lo largo de la curva

$$\Delta\tau = \int_\gamma d\tau = \int_\gamma\sqrt{g_{ab}dx^adx^b},$$ donde supusimos unidades tales que $c = 1$y firma cronológica, $(+---)$. En principio, esto nos permitiría reconstruir la primitiva de los componentes métricos a lo largo de nuestras curvas temporales, y la curvatura viene dada por una expresión bastante larga que involucra las segundas derivadas de la métrica.

Sin embargo, por prometedor que parezca, el hecho de que solo podamos considerar curvas temporales significa que no tenemos forma de investigar la dependencia de los componentes métricos a lo largo de curvas espaciales o nulas (a través de la dilatación del tiempo). En un lenguaje un poco más matemático: solo podemos conocer las derivadas de las componentes métricas con respecto a las coordenadas temporales, y de esas solo las "componentes temporales:" Si elegimos coordenadas$(t,x^1,x^2,x^3)$tal que$x^i$($i \in \{1,2,3\}$) son constantes a lo largo de una curva entonces

$$\Delta\tau = \int_\gamma\sqrt{g_{tt}}dt,$$ y podemos, en principio, reconstruir el primitivo de $\sqrt{g_{tt}}$con respecto a $t$solo. Y esto ciertamente no es suficiente para reconstruir el tensor de curvatura, en cualquier espacio-tiempo, incluso si se investigan todas las coordenadas temporales posibles.

Es difícil responder a su pregunta para todas las configuraciones posibles de la gravedad, pero dentro de la métrica de Schwarzschild es fácil mostrar que la gravedad no solo puede representarse como un espacio-tiempo curvo sino, exactamente como usted supone, también como una dilatación del tiempo gravitacional en un espacio plano.

La métrica de Schwarzschild es la descripción más básica de la curvatura del espacio-tiempo por gravedad, es

$$\mathrm ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right) c^2~\mathrm dt^2 + \frac{1}{1 - \frac{2GM}{c^2 r} }~\mathrm dr^2 + r^2 \left(\mathrm d\Theta^2 + \sin^2 \Theta ~\mathrm d\Phi^2\right)$$

Por el contrario, la métrica de Minkowski correspondiente (con espacio-tiempo plano) es

$$\mathrm ds^2 = -~ c^2~\mathrm dt^2 + \mathrm dr^2 + r^2 \left(\mathrm d\Theta^2 + \sin^2 \Theta~\mathrm d\Phi^2\right)$$

dónde$\mathrm dt$es el tiempo sin curvas y$\mathrm dr$es un desplazamiento radial no curvo.

Comparando ambos, encuentra que en la métrica de Schwarzschild, el tiempo$\mathrm dt$se multiplica por la constante

$$\sqrt{1 - \frac{2GM}{c^2 r}}$$ y espacio $\mathrm dr$se divide por la misma constante. Es exactamente este factor el que representa la curvatura del espacio-tiempo. La constante es la dilatación del tiempo gravitacional. Si establecemos la constante = $C$, podemos escribir la métrica de Schwarzschild más corta de la siguiente manera: $$\mathrm ds^2 = -~c^2 (C~\mathrm dt)^2 + {\left(\frac {\mathrm dr}{C}\right)}^2 + r^2 \left(\mathrm d\Theta^2 + \sin^2 \Theta~\mathrm d\Phi^2\right)$$ Comparando esta forma abreviada con la ecuación anterior de la métrica de Minkowski, la métrica de Schwarzschild difiere de la métrica de Minkowski no curvada solo en un coeficiente $C$lo cual es idéntico a la dilatación del tiempo gravitacional. Eso significa que el espacio-tiempo curvo de la métrica de Schwarzschild también puede describirse en términos de dilatación del tiempo gravitacional, ¡en un espacio absoluto y plano!

El espacio-tiempo curvo y la dilatación del tiempo gravitacional en el espacio plano son dos modelos equivalentes. Para este último, la gravitación se expresa por la tendencia de las partículas a maximizar su propia dilatación del tiempo gravitacional.

Edición 1: la métrica de Schwarzschild incluso proporciona una respuesta más simple a su pregunta: en la ecuación de Schwarzschild, ¡las coordenadas de desplazamiento dt y dr (así como dΘ y dΦ) no son curvas! Como puede ver, la métrica ds es el resultado de una multiplicación de dt por C y la división de dr por C, lo que proporciona una métrica distorsionada. Sin embargo, los términos del lado derecho dt y dr no están distorsionados ni alabeados, son coordenadas polares planas y el sistema de coordenadas polares puede transcribirse en el sistema de coordenadas cartesianas correspondiente del espacio plano.

Edición 2: Su pregunta puede ser de gran importancia. Si lo que mostré para la métrica de Schwarzschild fuera cierto en general (por ejemplo, la métrica de Kerr, etc.), esto significaría que la gravedad puede describirse exclusivamente en términos de modulación del tiempo en un espacio plano. Esto podría ser crucial con respecto al hecho de que el parámetro de tiempo en la mecánica cuántica no es un operador, es clásico. En mi opinión personal, aquí podría existir un camino que permitiera conciliar la gravedad y la mecánica cuántica.