Emisión estimulada y teorema de no clonación

Question

Emisión estimulada y teorema de no clonación

láser
Física
óptica-cuántica
emisión de fotones
mecánica cuántica
información cuántica

velax

Tengo un pequeño problema con la emisión simulada . Conozco el teorema de no clonación que establece que no es posible duplicar ningún estado.

Por otro lado, conozco la emisión estimulada que a partir de un fotón produce exactamente lo mismo (longitud de onda, polarización, etc...). Tal vez el hecho es que el átomo excitado hace una medida. (Digamos que puede estimular la emisión con una sola dirección de polarización).

Pero ahora, si tengo un número estadístico de átomos con una dirección de "polarización" aleatoria, debería poder copiar cualquier fotón incidente. He hecho una máquina de clonación.

Esto no puede ser cierto debido al teorema de no clonación. Pero no puedo entender por qué.

Respuestas (4)

Emisión estimulada y teorema de no clonación

Martín · Answer 1

Seguro que puedes clonar un estado. Si sabe cómo producirlo, puede producir una copia más.

Por lo tanto, la respuesta a su pregunta radica en los detalles del teorema de no clonación. Establece que no es posible construir una máquina que clone fielmente un estado arbitrario (¡previamente desconocido!).

La emisión estimulada no cumple con esto. Dado un átomo, solo se puede usar un cierto rango de frecuencias, etc. para producir una emisión estimulada, por lo que no se puede clonar fielmente un estado arbitrario. Es solo una aproximación a la clonación, que no está prohibida.

Consulte también: http://arxiv.org/abs/quant-ph/0205149 y las referencias que contiene.

Gracias por su respuesta. Con un poco de excavación en las referencias, he podido encontrar una respuesta. En realidad, la respuesta proviene de la emisión espontánea Ver: nature.com/nature/journal/v304/n5922/abs/304188a0.html y sciencedirect.com/science/article/pii/0375960182908994#
No creo que esta sea una respuesta satisfactoria. El ancho de banda de frecuencia limitado de un átomo no impediría que se clonara la información de polarización de un fotón. (O son las propiedades cuánticas dentro de ese ancho de banda).

garyp · Answer 2

En la emisión estimulada, el campo comienza en un estado que contiene $n$ fotones, y termina en un estado que contiene $n+1$ fotones El sistema ha hecho una transición de un estado a otro. Me parece que nada ha sido clonado. Mismo sistema, diferentes estados.

roger vadim · Answer 3

Creo que @garyp ha dado la respuesta correcta, pero vale la pena ampliarla un poco.

La emisión estimulada no es clonar un estado, sino cambiar el estado de un modo (caracterizado por longitud de onda, dirección, polarización, etc.):

| {norte}_{k, λ} ⟩ ⟶ | {norte}_{k, λ} + 1 ⟩ .

$|n_{\mathbf{k},\lambda}\rangle \longrightarrow |n_{\mathbf{k},\lambda}+1\rangle .$

El malentendido conceptual aquí se debe a la posible falta de antecedentes en la teoría cuántica de campos y, por lo tanto, a pensar en los fotones como si fueran partículas. Esto lleva a pensar que un nuevo fotón es otra partícula en un estado idéntico a los estados de las anteriores. Una vez que se entiende que el fotón no es una partícula (al menos no en el primer sentido de cuantización), sino un nivel de excitación de un solo modo, la contradicción desaparece.

El paralelo de "partícula" más directo es un electrón en un potencial armónico, cambiando su estado de $n$ a $n+1$ - los dos estados no son idénticos, aunque la frecuencia potencial sea la misma para ellos.

Actualización
Quizás se necesita una explicación de por qué el teorema de no clonación no aparece en mi respuesta. La clonación de palabras en su sentido más genérico significa producir dos copias idénticas de algo ( la clonación es solo una palabra de moda para copiar, duplicar ). Por lo tanto, mi respuesta podría resumirse en que la emisión estimulada no es clonación (en ningún sentido de esta palabra) . Esta es una declaración más general que decir que la emisión estimulada no es equivalente a un tipo específico de clonación en el dominio de la física, por ejemplo, como implica el teorema de no clonación .

Implementar el teorema de no clonación requeriría que tengamos dos sistemas idénticos que luego podrían excitarse en el mismo estado. Es decir, podríamos tener dos láseres idénticos (láser A y láser B) inicialmente en diferentes estados y luego sincronizarlos:

| {norte}_{k, λ} ⟩_{A} \otimes | {metro}_{q, m} ⟩_{B} ⟶ | {norte}_{k, λ} ⟩_{A} \otimes | {norte}_{k, λ} ⟩_{B} .

$|n_{\mathbf{k},\lambda}\rangle_A \otimes |m_{\mathbf{q},\mu}\rangle_B \longrightarrow |n_{\mathbf{k},\lambda}\rangle_A \otimes |n_{\mathbf{k},\lambda}\rangle_B.$ También podríamos definir la clonación de dos modos (pero no de todos los sistemas) estando en idéntico estado:

| {norte}_{k, λ} ⟩_{A} \otimes | {metro}_{q, m} ⟩_{B} ⟶ | {norte}_{k, λ} ⟩_{A} \otimes | {metro}_{q, m}, {norte}_{k, λ} ⟩_{B} .

$|n_{\mathbf{k},\lambda}\rangle_A \otimes |m_{\mathbf{q},\mu}\rangle_B \longrightarrow |n_{\mathbf{k},\lambda}\rangle_A \otimes |m_{\mathbf{q},\mu},n_{\mathbf{k},\lambda}\rangle_B.$ Incluso podríamos posiblemente hablar de clonar algunos de los fotones al modo correspondiente del otro láser.

| {norte}_{k, λ} ⟩_{A} \otimes | {metro}_{q, m} ⟩_{B} ⟶ | {norte}_{k, λ} ⟩_{A} \otimes | {metro}_{q, m}, {yo}_{k, λ} ⟩_{B} .

$|n_{\mathbf{k},\lambda}\rangle_A \otimes |m_{\mathbf{q},\mu}\rangle_B \longrightarrow |n_{\mathbf{k},\lambda}\rangle_A \otimes |m_{\mathbf{q},\mu},l_{\mathbf{k},\lambda}\rangle_B.$

En otras palabras, hay muchas cosas que posiblemente se podrían llamar clonación , pero el término es difícilmente aplicable a los fotones "idénticos", ya que en realidad no son entidades diferentes que podrían ser idénticas, sino estados diferentes del mismo sistema.

Muy buenos puntos bien expresados. Gracias por la "expansión". ¡Mi voto es que la recompensa va para ti!
Bien, entonces explicaste que la excitación de un modo ya excitado no es clonación. Pero, ¿qué es la clonación entonces?
En realidad, esto no prueba por qué esta transformación no se puede usar para clonar un estado. Creo que para responder esto claramente, debes responder explícitamente algo como lo siguiente: Si tengo un estado $a|1_H\rangle + b|1_V\rangle$ y se convierte $a |2_H\rangle + b|2_V\rangle$ . ¿Por qué un proceso NO PUEDE enviar posteriormente un fotón en una dirección y el segundo en otra dirección y tienes dos copias de la superposición en polarización? Básicamente, debe responder por qué tener un segundo fotón idéntico no es suficiente para poder clonar la información.
Aquí básicamente estás diciendo "tener dos de algo no es lo mismo que tener uno de algo", por lo tanto, no es un estado clonado porque el estado pasó de uno a dos.
@StevenSagona ¡Precisamente! Para hablar de clonación se necesita tener "dos de algo", y esto no ocurre en la emisión estimulada.
@Ruslan Mi argumento es esencialmente que la emisión estimulada no es clonación en un sentido muy general de la palabra. Amplié la respuesta para aclarar esto.
Si el enunciado presentado en la primera expresión se interpreta como una referencia a un modo arbitrario, entonces también está prohibido por el teorema de no clonación. La prueba sigue el camino como la prueba estándar para el teorema de no clonación.
@flippiefanus quieres decir $|n\rangle\longrightarrow |n+1\rangle$ (la primera expresión)?? Los demás pueden estar prohibidos, esto no plantea ningún problema aquí.
@Ruslan $|n_a, n_b\rangle = (c_a^ \dagger)^{n_a} (c_b^\dagger)^{n_a} |0\rangle$

flippiefanus · Answer 4

Creo que acabo de darme cuenta de esto. Para la clonación, desea hacer lo siguiente:

Para la emisión estimulada se obtiene:

Por lo tanto, no viola el teorema de no clonación.

También me parece (a juzgar por Mandel y Wolf) que $|p\rangle$ y $|q\rangle$ debe estar en la base del impulso para la emisión estimulada. No se puede utilizar una base arbitraria.

Actualizar:

No obstante el reconocimiento que @StevenSagona le ha dado a mi antigua respuesta, por lo cual agradezco, no estoy convencido de que sea la mejor manera de entender el tema. Han pasado varios años desde que proporcioné esta respuesta y, mientras tanto, he desarrollado una comprensión diferente. Entonces, permítanme presentar ese entendimiento.

La pregunta es cómo funciona la emisión estimulada. A menudo se encuentra la idea de que el medio debe tener alguna inteligencia que pueda determinar el estado entrante y luego reproducirlo. Suponiendo que el estado de entrada es un estado de Fock donde todos los fotones tienen el espectro angular $F$ , entonces dicho proceso estaría representado por:

| {norte}_{F} ⟩ \to | (norte + 1)_{F} ⟩ .

$|n_F\rangle \rightarrow |(n+1)_F\rangle .$ Asume que el proceso estimulado puede ser modelado por un operador de creación individual

{\hat{a}}_{F}

$\hat{a}_F$ , que no es un operador unitario. En cambio, el proceso debe estar representado por un operador unitario. ¿Es posible encontrar tal operador unitario?

\hat{U}

$\hat{U}$ para este proceso? Si tal operador unitario existe, implicaría

⟨ {norte}_{GRAMO} | {norte}_{F} ⟩ = ⟨ GRAMO, F ⟩^{norte} = ⟨ {norte}_{GRAMO} | {\hat{tu}}^{†} \hat{tu} | {norte}_{F} ⟩ = ⟨ (norte + 1)_{GRAMO} | (norte + 1)_{F} ⟩ = ⟨ GRAMO, F ⟩^{(norte + 1)} .

$\langle n_G|n_F\rangle = \langle G,F\rangle^n = \langle n_G|\hat{U}^{\dagger}\hat{U}|n_F\rangle = \langle (n+1)_G|(n+1)_F\rangle = \langle G,F\rangle^{(n+1)} .$ Significa que, o bien

| ⟨ G, F ⟩ | = 1

$|\langle G,F\rangle|=1$ o

| ⟨ G, F ⟩ | = 0

$|\langle G,F\rangle|=0$ , lo cual es incompatible con el requisito de que

F

$F$ y

G

$G$ ser espectros angulares arbitrarios. Aquí, hemos reproducido el teorema de no clonación, pero para un escenario ligeramente diferente. Entonces, vemos que la primera expresión no da una representación adecuada del proceso de emisión estimulada.

Entonces, ¿cómo funciona la emisión estimulada? La cuestión es que la tendencia a que la emisión tenga el mismo estado que el estado entrante es el resultado de una mejora bosónica. No es que el medio solo reproduzca los estados entrantes. Produce todo lo que permite la estructura, pero la parte que corresponde al estado entrante recibe un realce bosónico.

Para modelar este proceso, supongamos que una emisión espontánea produciría un estado de un solo fotón:

| ψ ⟩ = | 1_{a} ⟩ C_{a} + | 1_{b} ⟩ C_{b} + | 1_{C} ⟩ C_{C} + . . .,

$|\psi\rangle = |1_a\rangle C_a + |1_b\rangle C_b + |1_c\rangle C_c + ... ,$ donde los subíndices representan los diferentes modos

^{⋆}

$^{\star}$ que puede ser radiado y el

C

$C$ son coeficientes arbitrarios. Para compararlo con el estado entrante

| n_{F} ⟩

$|n_F\rangle$ , podemos reformular la expresión como

| ψ ⟩ = | 1_{F} ⟩ α + | 1_{\bar{F}} ⟩ β,

$|\psi\rangle = |1_F\rangle \alpha + |1_{\bar{F}}\rangle \beta ,$ dónde

\bar{F}

$\bar{F}$ es el complemento ortogonal de

F

$F$ , y

α

$\alpha$ y

β

$\beta$ son los coeficientes asociados de modo que

| α |^{2} + | β |^{2} = 1

$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ . En el proceso estimulado uno obtendría nominalmente

| ψ ⟩ | {norte}_{F} ⟩ = | 1_{F} ⟩ | {norte}_{F} ⟩ α + | 1_{\bar{F}} ⟩ | {norte}_{F} ⟩ β .

$|\psi\rangle|n_F\rangle = |1_F\rangle|n_F\rangle \alpha + |1_{\bar{F}}\rangle|n_F\rangle \beta .$ Sin embargo, este estado no está correctamente normalizado. Si nos fijamos en los dos términos, vemos que

| 1_{\bar{F}} ⟩ | n_{F} ⟩

$|1_{\bar{F}}\rangle|n_F\rangle$ se normaliza,

⟨ 1_{\bar{F}} | 1_{\bar{F}} ⟩ ⟨ {norte}_{F} | {norte}_{F} ⟩ = 1

$\langle 1_{\bar{F}}|1_{\bar{F}}\rangle \langle n_F|n_F\rangle = 1$ pero

| 1_{F} ⟩ | n_{F} ⟩

$|1_F\rangle|n_F\rangle$ no es un estado normalizado. En su lugar, se convierte

| 1_{F} ⟩ | {norte}_{F} ⟩ = | (norte + 1)_{F} ⟩ \sqrt{norte + 1} .

$|1_F\rangle|n_F\rangle = |(n+1)_F\rangle\sqrt{n+1} .$ El factor

\sqrt{n + 1}

$\sqrt{n+1}$ representa el realce bosónico. Hace que el último término domine sobre el término con el complemento ortogonal. Entonces, el proceso de emisión estimulada se representa mejor como

| {norte}_{F} ⟩ \to | (norte + 1)_{F} ⟩ \sqrt{norte + 1} + | 1_{\bar{F}} ⟩ | {norte}_{F} ⟩,

$|n_F\rangle \rightarrow |(n+1)_F\rangle\sqrt{n+1} + |1_{\bar{F}}\rangle|n_F\rangle ,$ donde supuse

α = β = 1

$\alpha=\beta=1$ e ignoró la normalización general. Obviamente esto no es una simple clonación del estado entrante.

$\star$ Aquí el término modo se usa en su verdadero sentido como una solución de las ecuaciones de movimiento que satisfacen las condiciones de contorno.

¿Cuál es la interpretación de los estados |p>, |q> y |0>, y de los dos sistemas en el producto tensorial, en el contexto de la pregunta?
Gracias por la respuesta actualizada. En este nuevo caso que has descrito. Creo que todavía hay una alta probabilidad de que un qubit colectivo codificado en el estado $|n_F\rangle$ puede hacer que se seleccione el modo qubit en el fotón espontáneo. Entonces puedes ir de $(a | n\rangle_H+b | n\rangle_V)$ a (casi) $(a | n+1\rangle_H+b | n+1\rangle_V)$ . Si pudieras crear un estado que pudiera convertir esto en $(a | n\rangle_H+b | n\rangle_V) \otimes (a | 1\rangle_H+b | 1\rangle_V)$ entonces ha copiado su información de qubit a otro estado.
Entonces, la respuesta es que este pequeño error es lo que explica por qué no viola el teorma de la clonación, o que es imposible pasar de $(a | n+1\rangle_H+b | n+1\rangle_V)$ a $(a | n\rangle_H+b | n\rangle_V) \otimes (a | 1\rangle_H+b | 1\rangle_V)$
@StevenSagona. En mi respuesta asumí que el estado de entrada es un estado de Fock. En el caso de una superposición de estados de Fock, como en su ejemplo, es necesario realizar el proceso en cada término individualmente. Entonces el resultado no sería un simple producto tensorial como indicaste.

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