El papel de la duración de la infecciosidad en los modelos SIR

Me refiero a las Notas sobre R 0 de JH Jones .

El modelo SIR básico, como se describe en las Notas de Jones, considera tres factores que componen el número de reproducción:

  • τ = la transmisibilidad (es decir, probabilidad de infección dado el contacto entre un individuo susceptible e infectado)

  • C ¯ = la tasa promedio de contacto entre individuos susceptibles e infectados

  • d = la duración de la infecciosidad

El número de reproducción (básico) entonces es

R 0 = τ ⋅ C ¯ ⋅ d

La duración de la infecciosidad entra en el modelo SIR básico como la denominada tasa de eliminación v que no es más que el inverso de la duración de la infecciosidad: v = 1 / d :

d s d t = − β s i

d i d t = β s i − v i

d r d t = v i

con

  • s = la fracción de personas susceptibles

  • i = la fracción de personas infectadas

  • r = la fracción de personas retiradas (recuperadas o fallecidas)

  • β = τ ⋅ C ¯ = R 0 / d = tasa de contacto efectiva o tasa de infección

Mi pregunta se refiere a la forma en que d entra en el modelo SIR, porque no me parece tan plausible:

  • considerar a todas las personas que están infectadas hoy y tomar una fracción v de ellos que se habrán recuperado mañana.

¿No sería mucho más plausible

  • considerar a todas las personas que se infectaron d hace días y dejar que estos se recuperen mañana?

Este último enfoque sería especialmente válido cuando se puede despreciar la tasa de mortalidad, es decir, cuando "se elimina ≈ recuperado".

Mi impresión es que la mayoría de los artículos que usan una variante del modelo SIR básico permiten ingresar la duración de la infecciosidad de la primera manera, lo que lleva a predicciones significativamente diferentes que en el segundo caso.

Implementé ambos y esta es la diferencia (solo debido a las diferentes formas en que d entra en la fórmula de progresión, es decir, los valores de β y d está arreglado):

ingrese la descripción de la imagen aquí

(En caso de que se pregunte por qué oscilan las curvas: he modelado algún tipo de inmunidad adquirida con una duración finita de solo un mes, pero de la misma manera en ambos casos).

Esta pregunta me recuerda las ecuaciones para la descomposición radiactiva (consulte hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Nuclear/halfli2.html ). Allí, asumimos que una fracción constante de partículas se descompone por unidad de tiempo. Una partícula en particular puede tener un tiempo de vida que varía de cero a infinito, pero el tiempo de vida promedio de todas las partículas es simplemente el recíproco de la constante de decaimiento. ¿Quizás algo similar se aplica aquí? (Piense en las personas infectadas como partículas, la eliminación como desintegración radiactiva y v como la constante de decaimiento.) Si es así, el primero de los dos enfoques que mencionó es correcto.
Supongo que la principal diferencia es que la descomposición radiactiva sigue una distribución de Poisson, pero la recuperación de una enfermedad no: supongo que de alguna manera es una distribución de Gauss alrededor de un máximo característico.
Mientras que el número de desintegraciones en un período de tiempo dado para una muestra sigue una distribución de Poisson, la vida útil de las partículas no. De hecho tienen una distribución exponencial. Además, ¿cómo pueden los tiempos de recuperación de una enfermedad tener una distribución normal? Una distribución normal se extiende infinitamente en ambas direcciones, mientras que el tiempo de recuperación nunca puede ser negativo.
Gracias, tienes razón en ambos casos. Sin embargo, la distribución de los tiempos de recuperación podría ser "casi gaussiana", porque nadie se recupera inmediatamente después de haber sido infectado. Entonces, ¿tal vez ESTA distribución es Poisson, en lugar de exponencial?

Respuestas (2)

Mi pregunta se refiere a la forma en que d entra en el modelo SIR, porque no me parece tan plausible:

  • considerar a todas las personas que están infectadas hoy y tomar una fracción v de ellos que se habrán recuperado mañana.

Bueno, de hecho no es muy 'realista' como usted señala, pero en los supuestos del modelo, vemos que la población no tiene estructura (está bien mezclada, es constante) y no hay eventos de nacimiento y muerte. Entonces, en este caso, no es tan problemático tomar v como una constante a lo largo de toda la simulación, porque lo que está tratando de calcular es la tasa a la que las tres subfracciones de norte ( s , i , y r ) cambian, no realmente qué individuos se están moviendo de una clase a otra (que de todos modos no puedes saber realmente, si hablas de fracciones de norte ).

¿No sería mucho más plausible

  • considerar a todas las personas que se infectaron d hace días y dejar que estos se recuperen mañana?

Entonces, considerando mi comentario anterior, no tendría mucho sentido realmente tomar un formulario de retraso de tiempo en d , porque realmente no se puede saber qué personas se infectaron en un momento dado, solo se puede hablar de fracciones de norte (no hay estructura de población, como dicen en la formulación del modelo). Entonces, el hecho de que su formulación parezca tener una dinámica más lenta podría no ser muy informativo, porque lo que hizo es simplemente aplicar d a una fracción de la fracción de las clases de población, por lo que matemáticamente tiene sentido que funcione más lento, pero según la formulación del modelo no tiene mucho sentido, a menos que tenga una estructura de población definida desde el principio (que en este el caso no lo es), y a menos que pueda conocer explícitamente las transiciones de clase individual por individuo. De hecho, creo que tomar la fracción de la fracción conduciría a un 'subconteo' artificial de estos individuos que en realidad necesitaban estar en el i clase (y sobreconteo de las otras clases).

No lo veo problemático para tomar v como una constante No entiendo a qué te refieres con "constante en toda la simulación". Además, no existe un tipo único al que s , i , y r cambio pero dos: β y v . Y no entiendo tu argumento de qué individuos . Todo lo que quiero decir: cuando la "duración de la infecciosidad" significa lo que parece significar, tiene sentido eliminar a todos los recién infectados. d hace días como mañana recuperado, y ni una fracción v = 1 / d de los que están infectados hoy.
Las personas infectadas hoy consisten en algunos recién infectados ayer, algunos recién infectados anteayer, ... y algunos recién infectados d hace días. Y solo este último se habrá recuperado mañana (en la media).
Desea tratar el modelo como si tuviera una estructura de población, pero no es así. Ese es el principal problema tal como yo lo veo.
Entonces, no es un problema con el modelo sino con cómo lo usas.
Lo siento, pero sigo sin entender tu argumento. Y todavía no entiendo qué tiene de malo mi argumento. La única estructura que estoy suponiendo es una estructura "oportuna": que sí importa cuándo se infectó una persona.

No estoy seguro de haber entendido bien tu pregunta, pero creo que tu problema está aquí: la eliminación (y tu d) es una tasa (tiempo/eliminación). No importa la hora que elijas; un día, una semana, un año, siempre que ajuste su c (que es / tiempo) a la misma escala de tiempo. En otras palabras, si desea usar d durante varios días, debe calcular sus contactos durante varios días, y cambiar solo uno conducirá erróneamente a resultados diferentes.

Me temo que esto pierde el punto.
El papel de la duración de la infecciosidad en los modelos SIR
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