El efecto de la decoherencia cuántica en los operadores de densidad

Question

El efecto de la decoherencia cuántica en los operadores de densidad

Física
decoherencia
operador de densidad
mecánica cuántica

Hombre libre

Supongamos que tenemos un qubit en estado $| \Psi \rangle = \alpha | 0 \rangle + \beta | 1 \rangle$

Supongamos que exponemos esto a la decoherencia, que expresaremos como el estado $| R \rangle$ tal que

| 0 ⟩ | R ⟩ \to | 0 ⟩ | R_{0} ⟩

$| 0 \rangle| R \rangle \rightarrow | 0 \rangle| R_0 \rangle$

| 1 ⟩ | R ⟩ \to | 1 ⟩ | R_{1} ⟩

$| 1 \rangle| R \rangle \rightarrow | 1 \rangle| R_1 \rangle$

Dónde $| R \rangle, | R_0 \rangle$ y $| R_1 \rangle$ son todos estados normalizados.

Estoy tratando de trabajar cómo cambia el operador de densidad del qubit cuando aplicamos $R$ . Si consideramos el operador de densidad para $|\Psi \rangle$

ρ = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | = (\begin{matrix} α^{2} & α β \\ α β & β^{2} \end{matrix})

$\rho=|\Psi \rangle \langle\Psi |= \Big( \begin{matrix} \alpha^2 & \alpha \beta \\ \alpha \beta & \beta^2 \end{matrix} \Big)$

Asumiendo que alfa y beta son reales.

A continuación, aplicamos $|R\rangle$ a qubit,

ρ = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | \to | Ψ ⟩ | R ⟩ ⟨ Ψ | ⟨ R |

= α^{2} | 0 ⟩ | R_{0} ⟩ ⟨ 0 | ⟨ R_{0} | + α β (| 0 ⟩ | R_{0} ⟩ ⟨ 1 | ⟨ R_{1} | + | 1 ⟩ | R_{1} ⟩ ⟨ 0 | ⟨ R_{0} |) + β^{2} | 1 ⟩ | R_{1} ⟩ ⟨ 1 | ⟨ R_{1} |

A continuación, tomaríamos el operador de densidad reducida de $|\Psi \rangle$ para encontrar su operador de densidad? Esto produciría un $2 \times 2$ operador de densidad, que espero expresar en términos de $\rho=|\Psi \rangle \langle\Psi |$

¿Es esta la forma correcta de pensar sobre la relación entre operadores de densidad y operadores de densidad reducida para estados entrelazados? ¿Qué pasa con los estados desenredados?

Además, ¿alguien podría explicar brevemente qué es la decoherencia y por qué podemos describirla como tal operador? $|R \rangle$ ? Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Emilio Pisanty

Presumiblemente te refieres

| 1 ⟩ | R ⟩ \to | 1 ⟩ | R_{1} ⟩

$|1\rangle|R\rangle\rightarrow|1\rangle|R_1\rangle$ al principio. De lo contrario, sus cálculos son inconsistentes y el operador de densidad reducida simplemente será

| 0 ⟩ ⟨ 0 |

$|0\rangle\langle0|$ .

Respuestas (1)

El efecto de la decoherencia cuántica en los operadores de densidad

Presumiblemente te refieres $|1\rangle|R\rangle\rightarrow|1\rangle|R_1\rangle$ al principio. De lo contrario, sus cálculos son inconsistentes y el operador de densidad reducida simplemente será $|0\rangle\langle0|$ .

Motl de Luboš · Answer 1

Primero, permítanme restaurar la conjugación compleja que se omitió sin una buena razón:

ρ_{pag tu r mi} = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | = (\begin{matrix} | α |^{2} & α^{*} β \\ α β^{*} & | β |^{2} \end{matrix})

$\rho_{\rm pure}=|\Psi \rangle \langle\Psi |= \Big( \begin{matrix} |\alpha|^2 & \alpha^* \beta \\ \alpha \beta^* & |\beta|^2 \end{matrix} \Big)$ Ahora, usemos una ordenación más bonita (inversa) de los factores tensoriales para los vectores de sostén. Te referías:

ρ = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | \to | Ψ ⟩ | R ⟩ ⟨ R | ⟨ Ψ |

= | α |^{2} | 0 ⟩ | R_{0} ⟩ ⟨ R_{0} | ⟨ 0 | + α β^{*} | 0 ⟩ | R_{0} ⟩ ⟨ R_{1} | ⟨ 1 | + + α^{*} β | 1 ⟩ | R_{1} ⟩ ⟨ R_{0} | ⟨ 0 | + | β |^{2} | 1 ⟩ | R_{1} ⟩ ⟨ R_{1} | ⟨ 1 |

ρ

$\rho$ sobre el

R_{0} / R_{1}

$R_0/R_1$ grado de libertad. Tenemos

\overset{R_{0}, R_{1}}{Tr} ρ = | α |^{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + | β |^{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | = (\begin{matrix} | α |^{2} & 0 \\ 0 & | β |^{2} \end{matrix})

$\mathop{\rm Tr}^{R_0,R_1} \rho = |\alpha|^2 |0\rangle \langle 0| +|\beta|^2 |1\rangle \langle 1 | = \pmatrix{ |\alpha|^2&0\\ 0&|\beta|^2}$ Eso es todo. Tenga en cuenta que los términos mixtos no contribuyeron en nada a la traza parcial porque

⟨ R_{0} | R_{1} ⟩ = 0

$\langle R_0|R_1\rangle=0$ y de manera similar para su complejo conjugado. El resultado principal es que esta matriz de densidad reducida, un rastro parcial, después de la decoherencia tiene entradas fuera de la diagonal que desaparecen, a diferencia de la matriz de densidad para el estado puro

ρ_{p u r e}

$\rho_{\rm pure}$ con el que empezamos.

En cálculos más detallados de decoherencia, generalmente tomamos en cuenta el hecho de que $|R_0\rangle$ y $|R_1\rangle$ que los grados de libertad ambientales evolucionan en solo un momento después no son exactamente ortogonales entre sí. Eso significa que los elementos fuera de la diagonal se reducen pero no desaparecen instantáneamente. Sin embargo, el producto interno está disminuyendo más rápido que exponencialmente a medida que la misma información se imprime y se copia en grados adicionales de libertad del entorno. Por una avalancha que crece exponencialmente, $\exp(CT)$ de qubits se modifican de acuerdo con los bits de decoherencia iniciales. Cada uno de estos grados de libertad ambientales o qubits aporta un factor de orden $I\ll 1$ desde el producto interno hasta las entradas fuera de la diagonal, por lo que las entradas fuera de la diagonal van como

ρ_{12} \sim I^{Exp (C T)} = Exp (- B Exp (C T))

$\rho_{12}\sim I^{\exp(CT)}=\exp(-B\exp(CT))$ dónde

B = \ln (1 / I)

$B=\ln(1/I)$ .

Para hacer que las entradas fuera de la diagonal de la matriz de densidad desaparezcan o casi desaparezcan después de algún tiempo, el entrelazamiento con los grados de libertad ambientales es esencial. Si los dos subsistemas no estuvieran entrelazados, es decir, si el estado puro total fuera un producto tensorial $|a\rangle\otimes |R\rangle$ , el trazado sobre el $R$ grados de libertad le daría la matriz de densidad pura $|a\rangle\langle a|$ atrás: el sistema $R$ no tendría ningún efecto en el sistema $a$ debido a la falta de entrelazamiento (falta de correlación).

Puede leer sobre la decoherencia, por ejemplo, en las páginas 9-16 aquí:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~motl/entan-interpret.pdf

La decoherencia debería hacer que los elementos fuera de la diagonal disminuyan exponencialmente, suponiendo que cada uno de los qubits interactúe con un número limitado de grados de libertad en el entorno (que creo que es una suposición bastante razonable). ¿Por qué superexponencialmente?
No, tu estas equivocado. La decoherencia hace que las entradas fuera de la diagonal disminuyan exponencialmente en el tiempo y he explicado por qué. No es una aproximación razonable suponer que el número de grados de libertad en el entorno está acotado. El ambiente es una especie de baño de calor infinito. En cualquier caso, cuando las entradas fuera de la diagonal comienzan a caer sustancialmente, por ejemplo, a una millonésima, es mucho antes de que se "agoten" todos los grados de libertad en el entorno, razón por la cual la finitud de su número, incluso si el número es finito , no afecta el carácter funcional de $\rho_{12}(T)$ .
En otras palabras, en todas las situaciones que uno pueda considerar, es una aproximación legítima, y la única aproximación legítima, suponer que el número de grados de libertad ambientales disponibles es infinito. No encontrará ninguna situación del mundo real para la cual su disminución exponencial simple sea más precisa que la disminución exponencial exponencial, ¿verdad? Por supuesto, la diferencia es irrelevante en la práctica: una vez $\rho_{12}\ll 10^{-20}$ más o menos, no importa si continúa en decrecimiento exponencial o más rápido. Es cero a efectos prácticos.
No importa cuántas copias haga el entorno. Tan pronto como hace una copia, el estado se ha descoherido. Entonces, esta avalancha exponencial de copias de la información es completamente irrelevante para la tasa de decoherencia. Lo que es relevante para la tasa de decoherencia es el número de grados de libertad con los que interactúa directamente el qubit ; la interacción con todos los demás grados de libertad en el entorno está mediada por este número relativamente pequeño de grados de libertad. ¿Tiene alguna referencia para esta decoherencia superexponencial que pueda ver?
Estimado Peter, muy por el contrario, es completamente irrelevante para la velocidad de decoherencia si el grado de libertad observado interactúa con un grado de libertad ambiental directa o indirectamente. En la práctica, tampoco es válido que la decoherencia se complete después de la primera interacción; esa es solo la aproximación (nunca realizada) en la que los grados de libertad ambientales son exactamente ortogonales entre sí. Para documentos generales sobre decoherencia más rápida que exponencialmente rápida, consulte, por ejemplo, arxiv.org/pdf/cond-mat/9804156.pdf arriba de la ecuación 26.
Pruebe también, por ejemplo, prl.aps.org/abstract/PRL/v99/i26/e267202 y arxiv.org/abs/1207.0726 y, por ejemplo, arxiv.org/abs/0706.2127 página 4, y así sucesivamente. Busque superexponencial aquí: meeting.aps.org/Meeting/MAR08/Event/80068 o arxiv.org/abs/0710.3762 o usrexp-sandbox.nature.com/nature/journal/v461/n7268/full/…
Tu primer trabajo no es doblemente exponencial, es $e^{-ct^2}$ , y los autores están acoplando explícitamente directamente el electrón a infinitos grados de libertad (de diferentes frecuencias).
Correcto, hay diferentes formas de acoplar y organizar el cálculo y los diferentes resultados, pero en su mayoría son súper exponenciales y es importante que se pueda acceder a una cantidad infinita de grados de libertad en cada situación del mundo real. Mi doble exponencial es obviamente el límite para los sistemas donde se maximizan las interacciones entre los grados de libertad, "todos con todos", como en la termalización de un agujero negro.
Permítanme cerrar este intercambio no demasiado constructivo al notar que Zurek, debajo de 4.16 de arxiv.org/pdf/quantph/0105127.pdf , dice más o menos lo mismo que yo. El exponente en las escalas de decoherencia es como el número de grados de libertad que efectivamente (¡no necesariamente "directamente"!) interactúa con la información original.
Gracias por esto, es extremadamente útil, me alegra ver que estaba en la línea correcta (¡ish!), el caso con el que estoy lidiando $R_0$ y $R_1$ no son ortogonales, pero como usted dice, eso es simplemente una extensión de lo que ha hecho aquí. Muchas gracias por tu tiempo.
Exacto, @Freeman. Para imaginar un ejemplo que muestre por qué no son exactamente ortogonales en el mundo real, imagine un gato de Schrödinger muerto/vivo interactuando con una radiación de longitud de onda lo suficientemente corta. El gato muerto y el gato vivo se ven similares (su forma) y omiten una radiación de microondas de longitud de onda decimétrica similar, pero no exactamente la misma. El estado de los fotones de microondas creados por un gato vivo tiene un producto interno distinto de cero con el estado de los fotones emitidos por un gato muerto, pero el producto interno también es menor que 1 en valor absoluto.
@LubošMotl: Gracias por dar un ejemplo del mundo real, que siempre ayuda a imaginar los principios físicos detrás de estos conceptos. ¡Gracias por tu respuesta!

El efecto de la decoherencia cuántica en los operadores de densidad

Hombre libre

Emilio Pisanty

Respuestas (1)

Motl de Luboš

Pedro Shor

Motl de Luboš

Motl de Luboš

Pedro Shor

Motl de Luboš

Motl de Luboš

Pedro Shor

Motl de Luboš

Motl de Luboš

Hombre libre

Motl de Luboš

Hombre libre

¿Cuál es la importancia de una matriz de densidad diagonal después de la medición/decoherencia?

El gato de Schrödinger y la dificultad del estado de superposición macroscópica

Coherencias en la matriz de densidad

¿Cuáles son las objeciones más fuertes que se pueden hacer contra la decoherencia como explicación del "colapso"?

El estado de mezcla máxima está en el centro de todos los estados cuánticos.

Subjetividad de la decoherencia

¿Hay más estados entrelazados o no entrelazados?

¿Cuál es la intuición detrás de la matriz de densidad?

Fórmula de Kubo para observables generales

Subespacios libres de decoherencia y cómo se mantienen así, usando el efecto Zeno