¿El cuadrado de la distancia en la ley de gravitación universal de Newton es realmente un cuadrado?

Primero veamos por qué la forma del cuadrado inverso es especial. El teorema de Betrand establece que solo dos tipos de potenciales centrales producirán órbitas estables. El potencial del oscilador armónico$V=\frac{1}{2}kr^2$y el potencial$V=-\frac{k}{r}$que producirá una ley de fuerza del cuadrado inverso. Obviamente, la edad del universo es finita, por lo que el hecho de que las órbitas de los planetas hayan sobrevivido hasta ahora no implica necesariamente que seguirá siendo así en el futuro.

Otro argumento por el que este tipo de potencial es tan común es que, al hacer la teoría cuántica de campos, el propagador (los detalles dependen de si la partícula es un bosón (de calibre), un fermión o un escalar, por ahora me limitaré a los escalares) tiene forma

Por lo tanto, si esta partícula donde el portador de fuerza de su fuerza con acoplamiento$g$el potencial es básicamente la transformada de Fourier del propagador

Este es el famoso potencial de Yukawa. Para portadores de fuerza sin masa, el término de amortiguamiento va a 1 y la fuerza se vuelve de largo alcance con una ley de fuerza del cuadrado inverso. Hasta pequeños detalles, esto es análogo al caso del bosón de calibre, por ejemplo, la falta de masa del fotón hace que la fuerza EM sea de largo alcance, mientras que la masa de los bosones W, Z hace que las fuerzas débiles sean de corto alcance.

Las derivaciones anteriores utilizan las tres dimensiones espaciales. Las teorías con dimensiones adicionales han sugerido que las dimensiones adicionales grandes alterarán la ley del cuadrado inverso en algunas distancias no tan cortas (rango de sub-mm). Los resultados experimentales publicados se encuentran, por ejemplo, en el grupo Eöt-Wash ( http://www.npl.washington.edu/eotwash/experiments/shortRange/sr.html ) y están disponibles en arXiv.

Un potencial probado aquí está aquí

El siguiente gráfico muestra los límites de exclusión para ambos parámetros.$\alpha$y$\lambda$

Esto fue sugerido por Asaph Hall en 1894, en un intento de explicar las anomalías en la órbita de Mercurio. Recuperé el artículo original en http://adsabs.harvard.edu/full/1894AJ.....14...49H

Curiosamente, menciona en la introducción que el mismo Newton ya había considerado en los Principia lo que sucede si el exponente no es exactamente 2, ¡y concluyó que las observaciones disponibles para él apoyaban fuertemente la potencia exacta 2!

La historia se vuelve a contar, por ejemplo, en la página 356 de NR Hanson, Isis 53 (1962), 359-378.

Consulte también la Sección 2 de http://adsabs.harvard.edu/full/2005MNRAS.358.1273V

Pero, por supuesto, la teoría de Newton no es correcta; en cambio, la teoría de Einstein es correcta. Si usa la relatividad general GR, generalmente habla de curvatura, etc. en lugar de fuerzas.
No obstante, los resultados pueden expresarse en términos de una fuerza efectiva.

Esta referencia http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton/node116.html da

$F = -GM/r^2 -3GMh^2/(c^2r^4)$

donde h es el impulso como la corrección de primer orden. Las órdenes más altas han sido calculadas por la PPN y la gente de ondas gravitacionales. Esta corrección es muy pequeña excepto para objetos que se mueven muy rápido. En la práctica, se aplica a cuerpos que orbitan muy cerca de un agujero negro o una estrella de neutrones. Famosamente, también es responsable de la precesión del perihelio de Mercurio.

De hecho, se habló un poco del exponente en$r$durante finales de los 90 y principios del siglo XXI. El problema, según recuerdo, era la materia oscura, que solo puede observarse indirectamente observando la rotación anómala de las galaxias. Se sugirió que tal vez la ley de Newton se rompía bajo ciertas condiciones. Una vez más, según recuerdo, aunque se publicaron varios artículos, la idea no resultó gran cosa.

De hecho, ha habido tal investigación sobre la anomalía de Pioneer : dos naves espaciales lanzadas en la década de 1970 al sistema solar exterior no se movieron como se esperaba (según lo calculado debido a la gravedad y el viento solar) después de ca. 1980. Solo en/después de la década de 2000-2010, la fuente de la discrepancia, el empuje accidental por radiación térmica, se convirtió en un consenso generalmente aceptado. Previamente, era al menos concebible interpretar los datos como que contenían indicios de diferencias sutiles entre la gravedad real observada y nuestra comprensión teórica de la gravedad.

Sobre la base de la respuesta de Jim Graber:

Podemos absorber el término de perturbación en la corrección de la ley de potencia.

y obtenemos

No estoy seguro del significado físico de$r_0$aunque (¿escala de renormalización?).

Si$r/r_0 > 1$después$\delta(r)$es negativo y tenemos$\alpha$como 1.9999...

JPL, que calcula las órbitas de los cuerpos celestes con gran precisión, utiliza una expresión para la aceleración de un cuerpo de masa insignificante debido a la fuerza gravitatoria de otro cuerpo que se parece a:

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}{(1-\frac{4GM}{rc^2}}+\frac{v^2}{c^2})\hat{r}+ \frac{4GM}{r^2}(\bar{v}\cdot{\hat{r}})\frac{v^2}{c^2}\hat{r}$

Ignorando las partes dependientes de la velocidad tenemos:$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\hat{r}+\frac{4(GM)^2}{c^2r^3}\hat{r}$

Así que en realidad manteniendo$a = 2$pero la adición de una pequeña parte "cúbica inversa" en realidad se ajusta mejor a los valores experimentales, aunque el término cubo inverso no se inventó sino que proviene de tratar de aproximar los efectos relativistas generales utilizando lo que se conoce como "la expansión posnewtoniana".

La razón de esto es un poco complicada, pero básicamente agregar una pequeña parte del cubo inverso, así como partes dependientes de la velocidad, explica lo que se conoce como la "precesión anómala del perihelio".

Consulte, por ejemplo, la expresión 4-61 en este documento , titulado "Formulación para valores observados y calculados de tipos de datos de redes de espacio profundo para navegación".