Ecuación de onda: casos en los que la separación de variables no funciona

La separación de variables combinada con el teorema de Fourier es la técnica más común para resolver la ecuación de onda de D'Alembert :

Δ Φ − 1 C 0 2 ∂ 2 Φ ∂ t 2 = 0

Φ ( X , y , z , t ) = X ( X ) Y ( y ) Z ( z ) T ( t ) ≡ R ( r ) Θ ( θ ) Z ( z ) T ( t ) ≡   . . .

Definitivamente no es el método más general, pero es muy útil y muy satisfactorio para muchas aplicaciones (por ejemplo, con la suposición de ondas estacionarias).

¿Hay algún caso (simple y fácil) en el que no se pueda usar este método o (mejor), en un punto de vista opuesto, un fenómeno que no se pueda describir usando este método? Siéntase libre de nombrar más de ellos, preferiblemente con matemáticas elaboradas.

Nota: Soy muy consciente de que tal caso puede construirse matemáticamente, pero mi objetivo es la motivación de la física misma.

Ni la separación de variables ni las transformaciones de Fourier son soluciones reales a problemas de ondas reales. Todo lo que hacen es transformar un problema difícil en otro igualmente difícil. Incluso con medios perfectamente lineales, la dificultad de la solución radica en las condiciones de contorno, no en la propagación de ondas lineales a través del volumen. ¿Hay ecuaciones que son aún más difíciles de resolver? Sí, las hay, pero la suposición de que el método anterior es en realidad algún tipo de solución a una ecuación de onda lineal es completamente ingenua.
No puedo estar totalmente de acuerdo. La física es esencialmente una ciencia de modelos, no la realidad misma. Eso es más que correcto. Pero ese no es el punto. El punto es encontrar un caso de modelo simple, si lo prefiere, en el que la separación de variables no funcione debido a los atributos del modelo.
Tu tarea para mañana es darme una fórmula explícita para el espectro de una región cerrada arbitraria en el espacio con condiciones de contorno perfectamente reflectantes. :-)
¿Cómo sabes que estoy a punto de pasar medio día en un tren a Viena sin mucho que hacer? :-) Pero como sé que no hay forma más fea en la que la ecuación de Helmholtz resultante sea separable que el esferoide achatado, creo que paso. :-) ¿Pero no tienes otro caso que los límites repugnantes?
Tengo el mensaje de que la teoría de solución avanzada para operadores lineales llena hasta los topes una biblioteca matemática de buen tamaño en estos días. Solo digo...
Creo que no podrá aplicar la separación de variables a una ecuación de onda en una cavidad en forma de mandelbulb con condiciones de contorno que reflejan perfectamente las coordenadas que elija.

Respuestas (1)

Este tema se analiza a fondo en el Capítulo 5, volumen 1 de Morse y Feshbach. Según el sistema de coordenadas, la PDE puede ser completamente separable, parcialmente separable o no separable. M&F muestra los detalles de la ecuación de Helmholtz (el FT temporal de D'Alembert) en más de una docena de sistemas de coordenadas. Como se señaló en los comentarios, una cuestión clave es la aplicación de las condiciones de contorno. Entonces, si su BC se aplica en una de las coordenadas separables, se logra una gran simplificación. Todavía tienes que resolver las EDO para el problema separado, que puede ser muy complejo. Sin embargo, no hay física real aquí. Si su límite resulta ser separable, entonces está bien.

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