¿Comprender la condición de radiación de Sommerfeld?

Tanto tú como tu amigo tienen parte de razón. (Estaba pensando como tu amigo hace solo 20 minutos)

Permítanme reescribir la condición de radiación de Sommerfeld para el caso 2D (solo como ejemplo, funciona de la misma manera en 3D).

$$\lim_{|\mathbf{x}|\to\infty}\sqrt{|\mathbf{x}|}\left(\frac{\partial u}{\partial|\mathbf{x}|}-iku\right)=0\quad\forall\theta$$

es decir, el límite tiene que ser$0$cuando va al infinito en todas las direcciones.

Como dices, si la función$u$es suave y va a cero, entonces se cumple el límite.

Por otro lado, tu amigo puede haber pensado que el término entre paréntesis es nulo en el caso de una onda plana. Eso no es completamente cierto.

En 2D, una onda plana toma la forma:

$$u\left(\mathbf{x}\right)=Ae^{ik\mathbf{d}\cdot\mathbf{x}}$$

ser$A$la amplitud de la onda,$k$el número de onda (el mismo que en la ecuación de Helmholtz),$i$el número imaginario unitario, y$\mathbf{d}$el vector unitario en la dirección de propagación de la onda, es decir, perpendicular al frente de onda.

Si medimos nuestros ángulos con respecto a$\mathbf{d}$entonces la onda plana también se puede representar como:

$$u\left(\mathbf{x}\right)=Ae^{ik|\mathbf{x}|\cos(\theta)}$$

donde solo evaluamos el producto escalar.

La derivada con respecto a$|\mathbf{x}|$es entonces:

$$\frac{\partial u}{\partial|\mathbf{x}|}=Aik\cos(\theta)e^{ik|\mathbf{x}|\cos(\theta)}=ik\cos(\theta)u\left(\mathbf{x}\right)$$

y vemos que esto solo satisface la condición de radiación de Sommerfeld cuando$\theta=0$.

Entonces... para resumir:

¿Una onda plana satisface la condición de radiación de Sommerfeld?

No, debe satisfacerse en todas las direcciones y sólo la satisface en la dirección de propagación de la onda.

¿Qué significa de$iku$término significa?

Es lo que obtienes cuando diferencias una onda plana con respecto a$|\mathbf{x}|$a lo largo de su dirección de propagación.

¿Cuál es el significado de la condición de radiación de Sommerfield?

Las condiciones de radiación de Sommerfeld solo permiten que las ondas irradien energía hacia el infinito (ondas salientes) pero no que el infinito irradie hacia atrás. En el caso de una onda plana la propagación de la energía va en una sola dirección en todo el plano, y sin atenuación (esto no es muy físico). Significa que, según en qué dirección estés mirando, la energía va hacia el infinito o viene del infinito.

La condición dice que en todas las direcciones del espacio, la onda tiene que tender a una onda plana que se propaga en esa dirección, y la diferencia entre la onda real y una onda plana que se propaga en esa dirección tiene que disminuir más rápido que$\sqrt{|\mathbf{x}|}$.

Para corregirte, si una función$u$disminuye más rápido que$\sqrt{|\mathbf{x}|}$en todas las direcciones, entonces esta función satisfará la condición de radiación de Sommerfeld, pero esta condición permite casos más generales.

Espero que todo esté más claro ahora.

Entonces, ¿cuál es el verdadero significado de la condición de radiación de Sommerfeld? ¿Implica que una onda decae a cero, o una onda radiante decae a una onda plana, o algo más?

De la cita de Sommerfeld a continuación, me parece que "dispersarse hasta el infinito" puede tomarse como una onda que decae a cero.

De Wikipedia Radiación de Sommerfeld ,

Arnold Sommerfeld definió la condición de radiación para un campo escalar que satisface la ecuación de Helmholtz como

"las fuentes deben ser fuentes, no sumideros de energía. La energía que se irradia desde las fuentes debe dispersarse hasta el infinito; ninguna energía puede irradiarse desde el infinito hacia ... el campo".

Matemáticamente, considere la ecuación no homogénea de Helmholtz${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})u=-f{\mbox{ in }}\mathbb {R} ^{n}}$dónde ${\displaystyle n=2,3}$ es la dimensión del espacio, ${\displaystyle f}$ es una función dada con soporte compacto que representa una fuente de energía acotada, y ${\displaystyle k>0}$ es una constante, llamada número de onda.

Una solución ${\displaystyle u}$  a esta ecuación se le llama radiante si satisface la condición de radiación de Sommerfeld

$${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }|x|^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial |x|}}-ik\right)u(x)=0}{\displaystyle {\hat {x}}={\frac {x}{|x|}}}$$ (arriba,  ${\displaystyle i}$ es la unidad imaginaria y  ${\displaystyle |\cdot |}$ es la norma euclidiana). Aquí, se supone que el campo armónico de tiempo es  ${\displaystyle e^{-i\omega t}u.}$ Si el campo armónico de tiempo es en cambio  ${\displaystyle e^{i\omega t}u,}$ uno debe reemplazar  ${\displaystyle -i}$ con  ${\displaystyle +i}$ en la condición de radiación de Sommerfeld.

Para tu segundo punto:

¿Qué dice el LHS de la ecuación? No es muy intuitivo ¿qué pasa con la multiplicación de u por ik?

De Ochenta años de la condición de radiación de Sommerfeld - CiteSeerX (Hay un PDF asociado con este archivo, que, por alguna razón, no puedo vincular directamente). Mis disculpas por esto, pero el PDF proporciona un posible fundamento para la formulación de la ecuación, es decir, para eliminar soluciones no físicas no deseadas.

Una de las dificultades de formular un problema de propagación de ondas de esta manera es que la solución puede no ser única. Además de las ondas salientes esperadas que resultan cuando el objeto dispersa la onda incidente, la solución matemática también proporciona ondas entrantes que se originan en el infinito y se mueven hacia el objeto. Estas ondas entrantes no tienen sentido físico y deben ser rechazadas por algún criterio integrado en la formulación matemática del problema. Sommerfeld fue el primero en establecer una condición matemáticamente precisa y fácil de aplicar que, cuando se agrega a los problemas de valores en la frontera exterior para la ecuación de Helmholtz, asegura una solución única. Esta condición se aplica en el infinito y para problemas tridimensionales requiere que la solución u satisfaga$Y= Vx’ + y= + 22, i=CT$, uniformemente con respecto a todas las direcciones en las que se aproxima al límite.

En el caso (muy probable) de que haya aspectos sutiles que estén más allá de mí, le pediría que busque en Google la referencia anterior y descargue el PDF.

La condición de radiación de Sommerfeld se utiliza para resolver de forma única la ecuación de Helmholtz. Por ejemplo, considere el problema de la radiación debido a una fuente puntual ${\displaystyle x_{0}}$ en tres dimensiones, por lo que la función ${\displaystyle f}$ en la ecuación de Helmholtz es ${\displaystyle f(x)=\delta (x-x_{0}),}$dónde ${\displaystyle \delta }$ es la función delta de Dirac. Este problema tiene un número infinito de soluciones, por ejemplo, cualquier función de la forma

${\displaystyle u=cu_{+}+(1-c)u_{-}\,}$dónde ${\displaystyle c}$ es una constante y${\displaystyle u_{\pm }(x)={\frac {e^{\pm ik|x-x_{0}|}}{4\pi |x-x_{0}|}}.}$

De todas estas soluciones, sólo ${\displaystyle u_{+}}$ satisface la condición de radiación de Sommerfeld y corresponde a un campo que irradia desde ${\displaystyle x_{0}.}$. Las otras soluciones no son físicas. Por ejemplo, ${\displaystyle u_{-}}$ puede interpretarse como energía que viene del infinito y se hunde en ${\displaystyle x_{0}.}$