¿Ecuación de Dirac sobre geometrías generales?

El lagrangiano para un fermión de Dirac sin masa en un fondo general está dado por:

dónde$c.c.$significa complejo conjugado.$\bar \psi = \gamma^0 \psi^+$,$e^{\mu}_I$es la tétrada (o más generalmente n-bien) que codifica la métrica de fondo a través de$g_{\mu\nu} = e^I_{\mu} e^J_{\mu} \eta_{IJ}$, dónde$\eta_{IJ}$es la métrica de minkowski$diag(-1,1,1,1)$.$\mathcal{D}_{\mu}$es la derivada covariante cuya acción sobre los espinores viene dada por:

Aquí$\gamma_I$son las matrices de Dirac y$\gamma_I\gamma_J$son los generadores del álgebra de mentira de Lorentz. Para los espinores que se transforman bajo la acción de un grupo general, el segundo término de la expresión anterior se puede generalizar a$A_{\mu}^I T_I \psi$dónde$T_I$son los generadores de álgebra de mentira del grupo relevante.

El n-bien codifica la métrica de fondo. La conexión de calibre codifica la curvatura de fondo a través de$F_{\mu\nu}^{IJ} = \partial_{[\mu}A_{\nu]}^{IJ} + g [A_{\mu}, A_{\nu}]^{IJ}$. El$[..]$en el primer término indica antisimetrización sobre los índices contenidos. El segundo término es el conmutador de las matrices que constituyen la conexión y es distinto de cero solo para un grupo no abeliano. El Lagrangiano completo, incluido el de la geometría de fondo y los campos de Dirac, es:

Por supuesto, si la geometría de fondo es o puede tomarse como estática, entonces solo importa el término de Dirac. Las ecuaciones de movimiento correspondientes se determinan fácilmente a través de la variación wrt$\psi$y$\bar \psi$. La solución completa debe tener en cuenta no solo los valores generales de n-bien y la conexión, sino también las condiciones de contorno impuestas por la geometría de fondo.

En lo anterior, lo que no se dice es cómo el$e \wedge e \wedge F$término corresponde al lagrangiano de Einstein-Hilbert. Esta es esencialmente la formulación de conexión de GR para la cual una excelente referencia pedagógica es el artículo de Romano Geometrodynamics vs. Connection Dynamics .

Dado todo este formalismo lo que falta es un ejemplo concreto. No tengo dudas de que alguien (@Lawrence ?) pronto proporcionará uno. Pero esto debería ponerte en marcha. También puede seguir la ruta de Clifford/álgebra geométrica que mencionó @Carl y obtener los beneficios de un lenguaje unificado a expensas de dedicar algo de tiempo a aprender el marco. ¡Espero que esto ayude!

Se puede encontrar un ejemplo explícito de una solución exacta en este artículo sobre Graphene Wormholes

Para escribir la ecuación de Dirac sobre el espacio-tiempo curvo, primero exprese la geometría en términos de vierbeins y conexiones de espín. Los paquetes de Spinor son paquetes de vectores en el espacio-tiempo que se transforman localmente bajo el grupo de calibre local de Lorentz. Usando la conexión de espín, podemos escribir derivadas covariantes para secciones del haz de espinor. Para obtener el operador de Dirac, contraemos la derivada covariante con el vierbein inverso y la contraemos con las matrices gamma.

Puede echar un vistazo a la versión de la relatividad general (GR) realizada por el Cambridge Geometry Group. Tradujeron GR a "álgebra geométrica", que equivale a las matrices gamma. Así que es fácil para ellos hacer cálculos de la ecuación de Dirac en un agujero negro. Aquí hay un ejemplo de documentos:

En PG Bergmann y V. de Sabbata eds, Advances in the Interplay Between Quantum and Gravity Physics, 251-283, Kluwer (2002), Anthony Lasenby y Chris Doran, Geometric Algebra, Dirac Wavefunctions and Black Holes
http://www.mrao .cam.ac.uk/~clifford/publications/abstracts/anl_erice_2001.html

Phys.Rev. D66 (2002) 024006, Chris Doran, Anthony Lasenby, Cálculo de la teoría de la perturbación de la sección transversal de dispersión elástica del agujero negro http://arxiv.org/abs/gr-qc/0106039v1

Ecuación de Dirac para la métrica de Kerr (agujero negro giratorio):
Phys.Rev. D61 (2000) 067503, Chris Doran, Una nueva forma de la solución de Kerr
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9910099v3

Estos, y los artículos que citan o por los que son citados, deberían ser suficientes.

Nunca lo he visto, y creo que sería divertido resolverlo dentro de la botella de klein. Básicamente es una versión cerrada de la tira de Möebius (lo que significa que tampoco es orientable); las condiciones de contorno son bastante simples

tomar un cuadrado, con vértices A,B,C,D y aristas AB, BC,CD,DA. Ahora haga las siguientes identificaciones:

1) (A, AB, B) => (D, DC, C)
esto te da una condición periódica en x, haciendo que tu cuadrado sea un cilindro

ahora si hicieras (B, BC, C) => (A, AD, D) obtendrías un toro$T^2$

si lo haces en su lugar

2) (B , BC, C) => (D, DA, A) obtendrás una superficie homeomorfa a la botella de klein