Quantum XOR: ¿Cómo lo generalizas?

La puerta XOR casi siempre se llama puerta NOT en información y computación cuántica. Para implementar la compuerta XOR unitariamente hay que hacerlo de forma reversible , ya que las compuertas unitarias deben ser invertibles; por el contrario, cualquier puerta lógica reversible define una operación física unitaria. La puerta XOR en sí misma no es invertible, ya que, por ejemplo, ambas entradas "00" y "11" producen la misma salida: "0".

La forma estándar de implementar una puerta XOR reversible es por medio de una puerta NOT controlada o CNOT; esta es la "operación XOR cuántica estándar". La acción de esta puerta sobre una base computacional de dos qubits es

$$\text{CNOT}|a, b\rangle \rightarrow |a, a\oplus b\rangle,\quad\text{where $a,b\in\{0,1\}$}.$$

Es decir, la puerta deja el primer bit sin cambios (el qubit de control) y calcula la puerta XOR de los dos bits en el segundo registro.

Intuitivamente, puedes imaginar la acción de la puerta CNOT como si estuviera "leyendo el primer qubit" y haciendo un XOR controlado en el segundo qubit dependiendo de este valor. Sin embargo, es importante que la puerta realmente realice la operación de manera coherente (es decir, ¡sin medir el estado físico)!; la acción de esta puerta en un estado de entrada arbitrario$|\psi\rangle = \sum_{a,b}\psi_{a,b} |ab \rangle$es

$$\text{CNOT} |\psi\rangle = \text{controlled}-\text{XOR}(Q) = \sum_{ab}\psi_{a,b}|a, a\oplus b\rangle = \sum_{ab}\psi_{a,b}|a, \text{XOR}(a,b)\rangle.$$

Para el estado particular$Q$que nos diste, obtendrías

$$\text{CNOT}(Q) = a_1|00 \rangle + a_2|01 \rangle + a_4|10\rangle + a_3|11 \rangle$$

Por lo general, una puerta cuántica XOR se implementa mediante la función:

$XOR(Q) = a_1|00 \rangle + a_2|01 \rangle + a_4|10\rangle + a_3|11 \rangle$

El primer bit se conserva, mientras que el segundo bit es el resultado de una operación XOR entre el primero y el segundo bit.

Por ejemplo, si tenemos la combinación$|11\rangle$, esto significa, después de la transformación:$1$para el primer bit (bit conservado) y$1$XOR$1 = 0$para el segundo bit, entonces$|11\rangle$se transforma en$|10\rangle$