Encuentro que este tipo de pregunta siempre es más fácil si dibujas un diagrama. la fuerza de arrastre$F$actúa en la dirección opuesta a la velocidad por lo que se ve como:

y las componentes de la fuerza de arrastre son:

$$\begin{align} F_x &= F \cos\theta \\ F_y &= F \sin\theta \end{align}$$

$\cos\theta$es$v_x/v$y$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$entonces obtenemos:

$$F_x = F \frac{v_x}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}}$$

Ya que$F = -Cv^2$obtenemos:

$$F_x = -Cv^2 \frac{v_x}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}}$$

y porqué$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$esto se convierte en:

$$\begin{align} F_x &= -C \left(v_x^2 + v_y^2\right) \frac{v_x}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}} \\ &= -C v_x \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \end{align}$$

Y del mismo modo para$F_y$.

Revisión de vectores

Un vector es una cantidad con una magnitud y una dirección , lo que lo hace algo diferente de las cantidades normales, que son solo magnitudes. Una gran diferencia es que los vectores se "transforman" de cierta manera cuando rotamos nuestras coordenadas, por ejemplo. Se "transforman" de la misma manera que se transforma una flecha en el espacio, si no nos importa dónde se encuentra la flecha sino solo cómo apunta la flecha . Entonces, cuando te vuelvas realmente técnico, esto se convertirá en la definición de un vector; simplemente diremos que un vector es cualquier cosa que "se transforma como un vector" y daremos el caso de ejemplo de los vectores de desplazamiento en el espacio para definir cómo queremos que se transformen.

Tenemos un par de notaciones diferentes para vectores, pero una muy común es escribir un vector como sus "coordenadas" de alguna manera, definiendo algunas$x,y,z$ejes que son perpendiculares entre sí y luego escribir

$$\vec v = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z\end{bmatrix}.$$ Lo único que no me gusta de esta notación es escribirla en línea en un párrafo como este, que es donde a veces cambio a punto y coma para dividir los componentes: $\vec v = [v_x;\, v_y;\, v_z].$Algunas personas, en cambio, prefieren $\vec v = \hat e_x v_x + \hat e_y v_y + \hat e_z v_z$o $\mathbf v = v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k;$$ estos son los mismos números escritos en formas ligeramente diferentes. Prefiero el primero de arriba.

Hay algunas cosas que son invariantes bajo rotaciones de coordenadas. Esto significa que no importa qué coordenadas uses cuando estás en un cálculo, y dado que tu elección de coordenadas no debería importar, esto es muy importante para escribir expresiones correctas en general.

El primero es el escalado del vector , donde multiplicamos la magnitud del vector por algún parámetro k . En coordenadas, esto se ve así:

$$k \vec v = k ~ \begin{bmatrix}v_x\\ v_y\\ v_z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}k v_x\\ k v_y\\ k v_z\end{bmatrix}.$$ El punto es que, sin importar cómo giren sus coordenadas, todos pueden estar de acuerdo en que este vector es el otro vector escalado por este parámetro en particular. $k.$

El siguiente es sumas vectoriales ,

$$\vec u + \vec v = \begin{bmatrix}u_x\\ u_y\\ u_z\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}v_x\\ v_y\\ v_z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}u_x + v_x\\ u_y + v_y\\ u_z + v_z\end{bmatrix}.$$ Esto tiene una buena interpretación geométrica al colocar la "base" de una flecha en la "punta" de la otra, y luego dibujar una flecha desde la base de la última hasta la punta de la primera.

El tercero se trata de rotaciones de coordenadas que preservan los ángulos entre diferentes vectores, y la forma más inteligente de expresarlo implica el producto escalar , que convierte dos vectores en un escalar (una "magnitud" pura sin dirección más allá de una posible$\pm$señal). Este escalar es:

$$\vec u \cdot \vec v = |\vec u| |\vec v| \cos\theta = \begin{bmatrix}u_x\\ u_y\\ u_z\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}v_x\\ v_y\\ v_z\end{bmatrix} = u_x~v_x + u_y~v_y + u_z~v_z.$$ Como menciono en la ecuación, esto tiene una buena interpretación como la magnitud de $\vec u$veces la magnitud de $\vec v$veces el coseno del ángulo que se encuentra entre ellos, pero también tiene esta forma algebraica súper simple a la derecha.

Hablando de magnitudes, ya que no hay ángulo entre un vector y sí mismo, y$\cos 0 = 1$, esto nos permite finalmente definir qué es una magnitud como una propiedad invariante de coordenadas,$|\vec v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} = \sqrt{\vec v \cdot \vec v}.$A su vez podemos definir qué es una dirección como un "vector unitario", un vector escalado por su magnitud inversa,$\hat v = \vec v / | \vec v |$así que eso$|\hat v| = 1.$

Ahora el significado de$\hat e_x$o$\mathbf i$son aparentes: son vectores unitarios$[1;\,0;\,0]$apuntando en las direcciones de las coordenadas, y puede recuperar el vector completo simplemente escalando estas direcciones con los componentes y sumándolos nuevamente.

En tu caso concreto

La fuerza de arrastre aerodinámica de una partícula que se mueve con velocidad.$\vec v$a través de un fluido se define para tener una magnitud$k v^2$para algunos$k$, usualmente$\frac 12 C_D A \rho,$pero el punto clave es que es cuadrática en velocidad. Aquí$v = |\vec v|$es la magnitud del vector-velocidad, si eso no fuera 100% claro.

Por supuesto, una fuerza es una cantidad vectorial y, por lo tanto, también tiene una dirección; para la resistencia aerodinámica su dirección es opuesta a$\vec v$. Entonces escalamos el vector unitario$\hat v = \vec v / |\vec v|$por$-k |v|^2$para encontrar el vector

$$\vec F_d = \frac{-k |\vec v|^2}{|\vec v|} ~ \vec v = \frac{-k\left(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2\right)}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}} \begin{bmatrix} v_x\\v_y\\v_z\end{bmatrix}.$$ Si queremos podemos dividir por $|\vec v|$y multiplique todas las coordenadas para simplemente obtener: $$\vec F_d = \begin{bmatrix} - k v_x \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\\-k v_y \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\\-k v_z \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\end{bmatrix},$$ así que esos son los componentes de la fuerza de arrastre aerodinámica.

Los principios son muy simples, pero definitivamente puede parecer un poco difícil cuando se usa la regla de escala , que multiplica todos los componentes por algunos.$\lambda$, con algunas particularidades$\lambda = -k (\vec v \cdot \vec v)$¡donde el parámetro de escala en sí proviene de un producto escalar! Puede parecerse mucho a que esto se supone que es secretamente$v_x^2$más o menos, ¡pero las reglas nos dicen que no lo es!

Esto tiene una consecuencia muy importante. Normalmente, si vas en bicicleta hacia el norte y empieza a soplar viento del este, tienes que trabajar contra la fuerza de arrastre . Bacterias y paramecios, que viven en un mundo con fuerzas de arrastre lineales$|\vec F_d| = -k |\vec v|$¡No tengas este problema! El trabajo realizado por unidad de tiempo para una fuerza$\vec F$es siempre$\vec F \cdot \vec v$y para el arrastre lineal estas fuerzas son irremediablemente perpendiculares; pero para el arrastre cuadrático se mezclan un poco. Si la expresión hubiera sido en cambio$[v_x^2;\,v_y^2;\,v_z^2]$entonces no habrías visto este efecto, y seríamos como esas bacterias, pero entonces la fuerza no habría tenido una magnitud proporcional a$v^2$sino más bien$\sqrt{v_x^4 + v_y^4 + v_z^4}$, que no es invariante en coordenadas: para esta expresión realmente depende de las coordenadas que utilice. un ejemplo es$[1;\,0;\,0]$flexible$1$pero su rotación por$\pi/4$en el$y$-dirección,$[\sqrt{1/2};\,\sqrt{1/2};\,0],$flexible$\sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2},$que obviamente no es$1$.