Distinguir entre filtros FIR e IIR a partir de la función de transformación

Primero, tenga en cuenta que FIR/IIR no es lo mismo que no recurrente/recurrente (donde recurrente significa que la salida depende de entradas y salidas anteriores ).

Puede tener un filtro no recurrente con respuesta de impulso infinita (por ejemplo,$h[n] = sinc(n/3)$, que no se puede expresar como una recursividad). Y puede tener una construcción recursiva para un filtro FIR.

Pero, para sistemas de orden finito, en general puede asociar FIR con formas no recursivas e IIR con formas recursivas.

Su función de transferencia tiene un denominador trivial, por lo que no hay recurrencia. Dividido por$z^3$y obtienes:

$$H(z) = 0.1 + 0.5 z^{-1} + 0.3 z^{-2} + 0.1 z^{-3}$$

Transforme hacia atrás y obtendrá la respuesta de impulso:

$$h[n] = 0.1 \delta[n] + 0.5 \delta[n-1] + 0.3 \delta[n-2] + 0.1 \delta[n-3]$$

La respuesta al impulso comienza en$n=0$y termina en$n=3$, por tanto su soporte es finito (FIR).

Si tuvieras postes no en$z=0$, entonces tienes un filtro IIR. Por ejemplo, si el denominador es$\frac{\cdots}{z^2 (z-1/3)}$, ahora tienes un poste en$z=1/3$, y su ecuación de recurrencia produce (divida arriba y abajo por$z^3$primero):

$$Y(z)(1-1/3 z^{-1}) = X(z)(0.1 + 0.5 z^{-1} + 0.3 z^{-2} + 0.1 z^{-3})$$

$$y[n] - 1/3 y[n-1] = 0.1 x[n] + 0.5 x[n-1] + 0.3 x[n-2] + 0.1 x[n-3]$$

Entonces puedes ver que la salida$y[n]$depende de las entradas anteriores y también de la salida anterior$y[n-1]$.

Ahora a la linealidad de fase:

Los filtros digitales causales de orden finito solo pueden ser de fase lineal generalizada si la respuesta de impulso es simétrica (consulte estas diapositivas para ver los 4 tipos de simetría; el artículo de wikipedia está sujeto a discusiones sobre derechos de autor).

Entonces, para su filtro original, los términos de respuesta de impulso son { 0.1 0.5 0.3 0.1 }; no simétrica, por lo que no es una fase lineal.

Los filtros causales IIR nunca serán de fase lineal (la respuesta de impulso comienza en 0 y nunca termina, por lo que no es posible la simetría).