¿Por qué Direct Form 2 (Filtros digitales) es equivalente a Direct Form 1?

Para responder a la pregunta de por qué Direct Form I y Direct Form II son equivalentes, necesitamos hacer un poco de matemática.

Para el filtro Direct Form I

$y_n = b_0 \cdot x_n + b_1 \cdot x_{n-1} + b_2 \cdot x_{n-2} - a_1 \cdot y_{n-1} - a_2 \cdot y_{n-2}$

Y su función de transferencia se escribiría

$H = \dfrac{b_0 + b_1 \cdot z^{-1} + b_2 \cdot z^{-2}}{1 - a_1 \cdot z^{-1} - a_2 \cdot z^{-2}}$

Para el filtro Direct Form II necesitamos introducir una nueva variable$t_n$cuál es la señal en el nodo central superior

Fácilmente podemos ver que

$y_n = b_0 \cdot t_n + b_1 \cdot t_{n-1} + b_2 \cdot t_{n-2}$

y

$t_n = x_n - a_1 \cdot t_{n-1} - a_2 \cdot t_{n-2}$

Usando$z$notación

$y = t \cdot \left( b_0 + b_1 \cdot z^{-1} + b_2 \cdot z^{-2} \right)$

$t \cdot \left( 1 - a_1 \cdot z^{-1} - a_2 \cdot z^{-2} \right) = x$

Función de transferencia:

$H = \dfrac{y}{x} = \dfrac{t \cdot \left( b_0 + b_1 \cdot z^{-1} + b_2 \cdot z^{-2} \right)}{t \cdot \left( 1 - a_1 \cdot z^{-1} - a_2 \cdot z^{-2} \right)}$

Lo que simplifica a

$H = \dfrac{b_0 + b_1 \cdot z^{-1} + b_2 \cdot z^{-2}}{1 - a_1 \cdot z^{-1} - a_2 \cdot z^{-2}}$

Demostrando que los dos son equivalentes.

Sin embargo, el filtro Direct Form II tiene la mitad del número de bloques de retardo.

La palabra "orden" se usa de dos maneras en su cita de wikipedia: -

La Forma Directa II alternativa solo necesita N unidades de retardo, donde N es el orden del filtro

y

Esta estructura se obtiene invirtiendo el orden de las secciones de numerador y denominador de Direct Form I

En la primera cita, "orden" se refiere al "orden" del filtro, es decir, 1er orden, 2do orden, etc.

En la segunda cita, "invertir el orden" se refiere a una reorganización del "circuito": -

Se convierte en esto: -

Ambos son filtros de segundo orden y la reorganización (inversión del orden) de los coeficientes "a" con los coeficientes "b" (en el circuito) es solo una simplificación. Si observa las dos imágenes lo suficiente, puede ver cómo se logra esto: -

Finalmente las dos secciones de elementos de retardo ($Z^{-1}$) se puede compartir. ¡¡No hay necesidad de matemáticas!!

Permítanme agregar otra explicación a la mezcla.

Primero echemos un vistazo a Direct Form 1. Si usa el diagrama que ha proporcionado para extraer la ecuación de diferencia que caracteriza el diagrama, obtendrá:

$$Y(z) = b_0X(z) - a_1z^{-1}Y(z) + b_1z^{-1}X(z) + a_2z^{-2}X(z) - a_2z^{-2}Y(z)$$

pero podemos reorganizar los términos de tal manera que solo tengamos 2 elementos de retardo, es decir.

$$Y(z) = b_0X(z) + z^{-1}\left( b_1X(z) - a_1Y(z) + z^{-1}\left(b_2X(z) - a_2Y(z)\right) \right)$$

la forma en la que hemos puesto la función de transferencia se llama forma Direct 2, utiliza solo 2 elementos de retardo en lugar de 4.