Diagrama de espacio-tiempo de Penrose para la solución de Schwarzchild

Considere la métrica correspondiente a la solución de Schwarzchild. Representa un agujero negro que no gira. Cuando queremos entender la estructura causal del espacio-tiempo encontramos la ecuación geodésica nula.

Geodésica nula radial saliente: las geodésicas nulas salientes se dibujan en la región r>2m y r<2m. Para r>2m, las geodésicas nulas van al infinito como esperamos. Para r<2m, va y golpea la singularidad. Pero estas son geodésicas nulas salientes en la región r<2m que parecen provenir del horizonte en el tiempo t=-(infinito). ¿Estas geodésicas nulas salientes en ambas regiones están conectadas de alguna manera en t=-(infinito)?

Geodésica nula radial entrante: las geodésicas nulas entrantes se dibujan de manera similar en la región r<2m y r>2m. En la región r<2m, las geodésicas vienen del horizonte y golpean la singularidad. Comienzan en t=+(infinito) y llegan a la singularidad en un tiempo finito que es menor que el infinito. ¿Estas geodésicas nulas viajan en el tiempo en esta región?

Respuestas (1)

No debe dar mucho significado físico a las coordenadas dentro del horizonte de eventos. En particular, r es la coordenada que "actúa como" el tiempo, y t actúa como el espacio.

Algo que es importante entender es que dado que las coordenadas de Schwarzschild no abarcan todo el espacio-tiempo y se vuelven singulares en el horizonte, en rigor no definen una variedad: definen dos piezas de una variedad, que a priori no son conectado. Una definición matemática adecuada del espacio-tiempo del agujero negro utiliza (por ejemplo) las coordenadas de Kruskal-Szekeres , que cubren toda la variedad. Estas son las coordenadas que se usan para hacer un diagrama de Penrose.

Para responder a sus preguntas: los dos conjuntos de geodésicas salientes no están conectados. Esto tiene sentido, ya que van en direcciones opuestas. Los de dentro del horizonte van hacia la singularidad, y los de fuera se van al infinito. Las geodésicas entrantes están conectadas, lo que nuevamente tiene sentido: solo tienes una geodésica, que atraviesa el horizonte. Pero "viajar en el tiempo" no es una frase significativa, ya que el t coordinar no significa necesariamente "tiempo". Tienes razón que a lo largo de la geodésica va a + ∞ y viceversa, pero no viaja en el tiempo.

Puede ver esto en el espacio-tiempo de Kruskal (ignore las regiones III y IV):

ingrese la descripción de la imagen aquí

He dibujado geodésicas salientes en verde y entrantes en naranja.

¿Qué herramienta usaste para dibujar este diagrama?
@magma Lo encontré en Wikipedia, mira el enlace en mi respuesta.
Tengo una pregunta más. ¿Están causalmente conectadas las regiones IV y II? ¿Hay alguna manera de ir de una región a otra?
@Khushal como se ve en el diagrama de Penrose, puede pasar de IV a II pero no al revés.
Diagrama de espacio-tiempo de Penrose para la solución de Schwarzchild
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