Esta es una continuación de una pregunta anterior ¿ Cómo puede pesar su propia cabeza de manera precisa? .
Mi propósito no es reiniciar la ráfaga de chistes más o menos humorísticos (que no son tan malos cuando son poco frecuentes), sino tratar de sacar algunas conclusiones, ya que encontré el evento instructivo, y espero obtener una respuesta real.
Más allá de las bromas, creo que la pregunta también era interesante desde un punto de vista más social: cómo operan las falacias, cómo vota la gente, cuál es el efecto, cómo gobierna la inducción de respuesta rápida por parte del sitio.
Ahora está claro, al menos para mí, que el verdadero problema físico era determinar la distribución de densidad de masa de un objeto (¿parcialmente?) sólido sin utilizar medios destructivos. Por supuesto, el concepto de destructividad puede depender del cuerpo en cuestión, y esa fue una fuente de bromas.
Aún así, es un tema relevante revisar los medios, si los hay, para lograr tal propósito, ya que parece que no hay tantos. Esta es en realidad la pregunta que estoy haciendo.
Pero me gustaría también, al mismo tiempo, revisar algunas de las respuestas dadas a la pregunta anterior.
Una que atrajo mi atención fue la solución de microsatélites. Realmente funciona ? Entonces, podríamos preguntar precisamente: dado un conocimiento preciso del campo de gravedad creado por un objeto sólido, ¿podemos deducir de él la distribución de densidad de masa en el sólido? La respuesta parece ser no. Tomemos el caso trivial de una esfera con una distribución de densidad radial uniforme. La gravedad fuera de la esfera depende únicamente de la masa total, por lo que no nos dice nada sobre la distribución de la densidad interna. ¿Es ese un caso degenerado excepcional, o es un fuerte indicio de que el análisis del campo de gravedad no es suficiente?
La solución de corte que propuse fue un error interesante, ciertamente tonto. Pero es muy tentador creer que la solución está cerca cuando tienes un conjunto de ecuaciones y son fáciles de arrancar. Una linda trampa. Se vuelve más obvio cuando tratas de hacerlo en forma continua en lugar de discreta.
Debería haber sido obvio, ya que sabemos que el par producido al pesar un objeto masivo depende solo de la masa total y la distancia del centro de masa al eje.
Lo que era menos obvio, al menos para mí (pero no he hecho mucha física desde la universidad), fue el uso del momento de inercia. También se podría pensar en medir los momentos de inercia después del corte virtual del objeto como antes con el par. Desgraciadamente el momento de inercia depende solo de 3 valores, los dos anteriores y un momento de inercia de referencia (para un sentido dado del eje de giro). Es una observación útil para calcular los momentos de inercia, pero muestra que no hay esperanza de resolver nuestro problema.
Esto fue comentado por @Ben Crowell en otra pregunta (ver más abajo).
De manera más general, parece que no hay esperanza de ninguna medida discretizada de una cantidad que depende polinomialmente de la distancia. No se pueden obtener más incógnitas que el grado del polinomio.
No comentaré sobre la dispersión de Compton y otros usos de los fenómenos físicos indirectos, aunque solo sea por falta de competencia. También está el hecho de que me gustaría saber de una solución que involucre solo mecánica.
Una técnica de la que escuché es medir la propagación de ondas a través del objeto. Lo insinué en un comentario sobre la solución de dispersión de Compton. No tengo experiencia en eso, pero creo que así es como los geofísicos analizan la estructura del planeta (ondas sísmicas). También escuché de análisis subterráneos por medios similares, usando explosivos. Pero no estoy seguro del tipo de información que se puede obtener de esta manera. ¿Se obtiene una distribución de densidad? ¿Siempre funciona?
La otra técnica en la que pensé es en imágenes médicas basadas en ultrasonido. ¿Podría medir densidades?
Ahora que estamos considerando ondas, ¿podríamos obtener algo de la medición de la propagación de ondas de gravedad, suponiendo que sea posible realizar las mediciones necesarias? Pero no tengo idea de lo que esto realmente implica o significa.
Curiosamente, una versión más simple del problema ya se discutió en cierta medida hace dos meses en ¿ Cómo puedo determinar si la masa de un objeto está distribuida uniformemente? Se repitieron algunas ideas para la pregunta reciente, pero también surgieron nuevas ideas (análisis del campo de gravedad), incluso si tienen debilidades y son algo difíciles de usar en la mayoría de las situaciones.
Luego, qué técnicas se han utilizado para conocer la distribución de la densidad de la Tierra, el Sol o posiblemente otros cuerpos. ¿Hay algo sistemático que pasamos por alto?
Entonces, ¿existen medios para resolver el problema puramente con la mecánica y la gravedad?
Una pregunta relacionada es si es más fácil o tan difícil determinar si la distribución de la densidad de masa es uniforme.
De manera más general, me pregunto si existe una forma de caracterizar las propiedades de los fenómenos que pueden ayudar a determinar la distribución de densidad dentro de un objeto sólido.
Alternativamente, ¿podría probarse que no se puede lograr por medios puramente mecánicos?
Está interesado en el campo de densidad de un objeto que es una función de valor escalar (solo un número) en una región tridimensional del espacio (forma del objeto en estudio).
Su deseo es estudiar esta función usando solo 2 formas de interacción: mecánica y gravedad en la forma más simple sin destruir el objeto.
Estoy de acuerdo en que primero debemos tratar de entender esta pregunta desde un punto de vista muy general.
La mecánica y la gravedad exhiben propiedades de superposición, lo que significa que las propiedades de los objetos esparcidos por el espacio se sustituyen por propiedades puntuales (un ejemplo que ya diste: el campo gravitacional de una esfera no depende de su distribución de densidad radial, por lo que la función de distribución de densidad se sustituye por un solo número de masa total).
Por lo tanto, usar solo la gravedad (sin escanear el interior con ondas, lo que para las ondas de gravedad es imposible en este momento) da una respuesta negativa, no es posible.
Lo mismo es cierto para la mecánica porque la mecánica también reduce las distribuciones tridimensionales a distribuciones puntuales.
¡Pero! La parte divertida es que ESO es por lo que la mecánica y la gravedad son teorías tan exitosas porque nos permiten abstraernos de las propiedades internas de los objetos y reducir la dinámica a solo propiedades globales.
Lógicamente, también está claro que para conocer la distribución tridimensional, debe ofrecer un algoritmo que le brinde esa cantidad de información, y esta información solo se puede obtener mediante la interacción física con cada punto dentro del objeto o la observación de las ondas emitidas por cada uno. punto.
Finalmente, ya diste un contraejemplo para tu objetivo: la esfera radialmente no uniforme. No hay forma de averiguar esta distribución usando solo la mecánica y la gravedad sin destruirla o usar ondas.
Si tomo un objeto de plomo pesado de forma arbitraria y lo monto en una esfera de cartón de modo que el centro de masa del objeto coincida con el centro de la esfera, nunca determinaría que la forma del objeto de plomo ni la densidad de masa sean distintas de la de una fuente puntual usando mecánica newtoniana o mediciones de campo externo.
Haciendo referencia a su comentario acerca de que el campo gravitatorio de un cubo es diferente al de una esfera, esto puede ser cierto cuando se comparan las mediciones de la intensidad del campo g en puntos de la superficie de estos objetos, donde las distancias al centro de masa son arbitrariamente diferentes según el forma o ubicación medida. Pero si comparamos valores en puntos de igual distancia a su respectivo centro de masa, entonces un cubo es indistinguible de una esfera (el centro de masa puede estar o no en el centro geométrico dependiendo de la uniformidad).
Debido a los ejemplos anteriores permitidos por el principio de superposición, al mapear la intensidad de campo g en muchos puntos arbitrarios alrededor de un objeto en el espacio 3D, podemos encontrar un punto único en un área no mapeada alrededor del cual, en todas las direcciones, distancias iguales producen valores de intensidad de campo iguales. --esencialmente el punto que indica la ubicación del COM del objeto. Este es el único punto en el área no mapeada donde sabemos cuál es el valor (es cero). Mientras tanto, todos los demás puntos en el área no mapeada son desconocidos, pero solo porque su pregunta simplemente nos prohíbe usar procedimientos invasivos.
El límite del espacio mapeable es simplemente la superficie del objeto. Si una simple inspección muestra que la forma es un polígono regular, podemos hacer comparaciones entre los valores en este límite y los valores que esperaríamos en la superficie del mismo tipo de polígono con la misma densidad promedio que el objeto. Cualquier desviación representaría una desviación en la distribución de masa dentro del objeto debajo de la superficie. Este fenómeno se llama anomalía de la gravedad y se ha utilizado para encontrar cosas interesantes bajo tierra aquí en la tierra. Tenga en cuenta que una gravedad superior a la esperada en un punto de la superficie de un objeto esférico no implica un material más denso justo debajo de esa superficie; también podría deberse a un vacío en el lado opuesto de la esfera.
Por eso, cuando se analizan anomalías, es importante mapear una gran área de la superficie, que después de tener en cuenta el centro de masa de un objeto uniforme ideal, puede revelar el centro de masa de un objeto que únicamente daría cuenta de la anomalía. Nuevamente, el uso de mediciones externas solo revela los COM, lo que puede ser muy engañoso, ya que cualquier número de objetos puede tener COM que no se acerquen a su volumen real (herraduras, conchas, etc.)
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