¿Cuál es la definición precisa de esfera de influencia gravitacional (SOI)?

También me preguntaba esto por un tiempo y encontré una derivación no completamente completa de la fórmula (a partir de la página 14) .
en la que se utiliza la siguiente ecuación,

$$\ddot{\vec{r}}+\underbrace{\frac{\mu_i}{\|\vec{r}\|^3}\vec{r}}_{-A_i}=\underbrace{-\mu_j\left(\frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|^3}+\frac{\vec{\rho}}{\|\vec{\rho}\|^3}\right)}_{P_j},$$ dónde $\vec{r}$es el vector entre los centros de gravedad de una nave espacial, indicado con $m$, y el cuerpo celeste con parámetro gravitacional $\mu_i$, $\vec{d}$es el vector entre los centros de gravedad de una nave espacial y el cuerpo celeste con parámetro gravitacional $\mu_j$y $\vec{\rho}$es el vector entre los centros de gravedad del cuerpo celeste $\mu_i$y $\mu_j$. Estos vectores también se ilustran en la siguiente figura.

                   

Y mirando la nave espacial desde un marco de referencia acelerado de un cuerpo celeste, entonces$A$se define como la aceleración gravitacional primaria y$P$como la aceleración de perturbación debida al otro cuerpo celeste.

Y el SOI se define debido a Laplace como la superficie a lo largo de la cual se cumple la siguiente ecuación,

$$\frac{P_j}{A_i}=\frac{P_i}{A_j},$$ entonces $$\frac{\mu_j\left(\frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|^3}+\frac{\vec{\rho}}{\|\vec{\rho}\|^3}\right)}{\mu_i\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}}=\frac{\mu_i\left(\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}+\frac{\vec{\rho}}{\|\vec{\rho}\|^3}\right)}{\mu_j\frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|^3}}.$$ Esto no devolverá una superficie esférica, pero se puede aproximar por uno cuando $\mu_i << \mu_j$, cuyo radio es igual a $$\|\vec{r}\|\approx r_{SOI}=\|\vec{\rho}\|\left(\frac{\mu_i}{\mu_j}\right)^{\frac{2}{5}}.$$ Aquí es donde se detienen las diapositivas de la conferencia e intentaré completar el resto. Cuando $\mu_i << \mu_j$que el SOI estará relativamente cerca de $\mu_i$entonces $$\|\vec{\rho}\|\approx\|\vec{d}\|,$$ y si miras la figura de arriba puedes ver que cuando $\|\vec{r}\|$es pequeño que $\vec{d}$y $\vec{\rho}$casi apuntan en dirección opuesta y forman un triángulo con $\vec{r}$tal que $$\vec{\rho}+\vec{d}=\vec{r}.$$ Al reescribir la definición de la superficie usando la aproximación que obtienes $$\mu_j^2\frac{\vec{d}}{\|\vec{\rho}\|^6}=\mu_i^2\frac{1}{\|\vec{r}\|^3}\left(\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}+\frac{\vec{\rho}}{\|\vec{\rho}\|^3}\right)$$ La otra aproximación que hay que hacer es que $\|\vec{r}\|<<\|\vec{\rho}\|$de modo que $$\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}+\frac{\vec{\rho}}{\|\vec{\rho}\|^3}\approx\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}.$$ Ahora la ecuación se puede reducir a $$\mu_j^2\frac{\vec{d}}{\|\vec{\rho}\|^6}=\mu_i^2\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^6}.$$ generalizando $\vec{r}$como un radio constante puedes hacer que este problema sea unidimensional, entonces $\|\vec{r}\|$puede sustituir $\vec{r}$y dado que no hay más adiciones de vectores (de modo que las pequeñas diferencias entre ellos podrían importar), por lo tanto $\|\vec{\rho}\|$también puede sustituir $\vec{d}$, lo que da la ecuación final $$\mu_j^2\|\vec{r}\|^5=\mu_i^2\|\vec{\rho}\|^5\longrightarrow\|\vec{r}\|=\|\vec{\rho}\|\left(\frac{\mu_i}{\mu_j}\right)^{\frac{2}{5}}.$$