Desviación de objetos en caída libre (efecto Coriolis) utilizando la conservación del momento angular

El error es solo considerar una velocidad promedio$h\omega$.

Cuando la partícula está en altura$z$, su velocidad horizontal (relativa a la Tierra) es$v=2z\omega$, ignorando los términos de orden superior en$z$. Durante el intervalo de tiempo$dt$la partícula cae$dz$con velocidad vertical$u(z)$. Por eso

$$dt=\frac{dz}{u(z)}=\frac{dz}{\sqrt{2gz}},$$ dónde$u(z)=\sqrt{2gz}$se puede obtener a partir de la fórmula de Torricelli. La distancia horizontal recorrida durante este$dt$es $$dx=vdt=2z\omega\frac{dz}{\sqrt{2gz}}.$$ integrando desde$0$a$h$obtenemos el desplazamiento horizontal total $$x=\sqrt{\frac 2g}\omega\int_0^h\sqrt zdz=\frac{2\omega}{3}\sqrt{\frac{2h^3}{g}}.$$

Considerando la conservación del momento angular para la pelota que se deja caer,$\omega(z)$, la velocidad angular de la pelota en función de z, no es constante para la pelota que se deja caer.$\omega(z) = {(R + h)^2 \over (R + z)^2} \omega_e$, dónde$\omega_e$es la velocidad angular de la tierra. A medida que cae la pelota,$z$disminuye y su velocidad angular aumenta. La respuesta de @Diracology asume$\omega(z)$es constante en$\omega_e$por el balón a tierra; esta es una buena aproximación para$h << R$y por lo tanto$z << R$.

ecuación 4.19 supone que la pelota se deja caer a una latitud de cero grados donde$\vec v = \vec \omega \times \vec R$tiene magnitud$\omega R$. En general,$\vec \omega \times \vec R$tiene magnitud$\omega R \enspace cos\lambda$dónde$\lambda$es la latitud. Considerando la latitud, eqn. 4.19 debe ser multiplicado por$cos\lambda$.

Ver el libro de texto, Fowles Analytical Mechanics, para la derivación de la ecuación. 4.19 en el marco no inercial considerando la latitud y encontrarás el factor$cos\lambda$en el resultado.

Tienes razón acerca de la velocidad promedio incorrecta. Pero, de hecho, puede usar la conversación del momento angular para calcular el desplazamiento correcto. Para hacer eso deja$\omega_0$Sea la velocidad angular de la Tierra y$h_0$Sea la altura inicial de la pelota. Entonces se sigue de la conservación del momento angular que

$$(R+h_0)^2\omega_0 = (R+h)^2 \omega(h)\Rightarrow \omega(h)=\omega_0(1+\frac{2}{R}(h_0-h))$$ Dejar$\Delta \omega$Sea la diferencia de las velocidades angulares de la pelota y la tierra y$\Delta \phi$sea ​​la diferencia de sus ángulos. Entonces se sigue que $$\Delta \phi = \int_0^T \Delta \omega \,\mathrm{d}t = \frac{2\omega_0}{R}\int_0^T h_0-h(t) \,\mathrm{d}t$$ enchufando$h_0-h(t) = \frac{g}{2}t^2$y$T = \sqrt{\frac{2h_0}{g}}$Se obtiene $$\Delta \phi = \frac{\omega_0 g}{R}\int_0^{\sqrt{\frac{2h_0}{g}}}t^2 \, \mathrm{d}t$$ y por lo tanto $$x = R\Delta \phi = \frac{2\omega_0 h_0^{\frac{3}{2}}\sqrt{2}}{3\sqrt{g}}$$