Deslizamiento a lo largo de un aro circular: trabajo realizado por fricción

Question

Deslizamiento a lo largo de un aro circular: trabajo realizado por fricción

titanio

Supongamos un objeto puntual de masa $m$ se desliza a lo largo de un aro de radio $R$ , partiendo de una posición que forma 90 grados con la línea de radio que une el centro y el suelo. Sea el coeficiente de fricción cinética entre el aro y el objeto $\mu$ . Suponiendo que el objeto comienza en reposo, ¿cuál es el trabajo total realizado por la fricción cuando el objeto llega al nivel del suelo?

Mi idea: la fuerza normal en cualquier caso viene dada por

norte = metro gramo pecado θ + \frac{metro v^{2}}{R},

$N=mg\sin\theta+\frac{mv^2}{R},$ dónde

θ

$\theta$ es el ángulo entre la línea radial que conecta la posición actual y la posición inicial del objeto al centro del aro. Con esto tenemos la fuerza de rozamiento como

F_{k} = m (metro gramo pecado θ + \frac{metro v^{2}}{R}),

$f_k=\mu\left(mg\sin\theta+\frac{mv^2}{R}\right),$ de modo que el trabajo total realizado por la fricción es

W_{k} = \int_{0}^{π / 2} m (metro gramo pecado θ + \frac{metro v^{2}}{R}) R d θ .

$W_k=\int_0^{\pi/2}\mu\left(mg\sin\theta+\frac{mv^2}{R}\right)R\mathop{\mathrm{d\theta}}.$

El problema que tengo es averiguar $v$ como una función de $\theta$ , es decir $v(\theta)$ . ¿Algunas ideas?

Respuestas (3)

Deslizamiento a lo largo de un aro circular: trabajo realizado por fricción

Gert · Answer 1

Establezca una ecuación de movimiento para la rotación de la masa alrededor del punto central.

τ = I α

$\tau=I\alpha$

Dónde:

$\tau=mg\cos\theta-\mu mg\sin\theta$

$I=mR^2$

$\alpha=\frac{d\omega}{dt}=\omega\frac{d\omega}{d\theta}$

Entonces:

metro gramo porque θ - m metro gramo pecado θ = metro R^{2} ω \frac{d ω}{d θ}

$mg\cos\theta-\mu mg\sin\theta=mR^2\omega\frac{d\omega}{d\theta}$

R^{2} ω d ω = gramo (porque θ - m pecado θ) d θ

$R^2\omega d\omega=g(\cos\theta-\mu \sin\theta)d\theta$

Integrar entre $0,\pi/2$ y $0,\omega$ obtener una expresión de $\omega^2$ en $\theta$ . Entonces usa $v=\omega R$ .

Luego calcule la ganancia en energía cinética: $\Delta K=\frac{mv^2}{2}$ (*) y la pérdida de energía potencial $\Delta U=mgR$ . La diferencia entre los dos es el trabajo de fricción.

(*) O usar $\Delta K=\frac{I\omega^2}{2}$ .

floris · Answer 2

Ya casi has llegado. Todo lo que necesita hacer ahora es darse cuenta de que la velocidad se puede deducir de la energía cinética, que es la diferencia entre la energía potencial perdida y el trabajo realizado por la fricción. Y tienes expresiones para ambos. A ver si eso te lleva allí.

iluvatar · Answer 3

Para las personas interesadas en este problema, también puede definir una ecuación diferencial para el trabajo fraccional en sí. Simplemente exprese el trabajo diferencial como una función del ángulo, aplique nuevamente la conservación de energía para la energía cinética y luego resuelva la ecuación diferencial de un grado que aparece. Los detalles se pueden encontrar en una publicación antigua:

Franklin, LP y Kimmel, PI (1980). Dinámica del movimiento circular con fricción. Revista estadounidense de física, 48 (3), 207–210. doi:10.1119/1.12306

Deslizamiento a lo largo de un aro circular: trabajo realizado por fricción

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Respuestas (3)

Gert

floris

iluvatar

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