Descomposición de Fourier del campo eléctrico

Question

Descomposición de Fourier del campo eléctrico

JT_NL

Tengo la siguiente descomposición para el componente eléctrico de la luz:

mi (r) = \frac{1}{4 π^{2}} \iint_{Ω} A (k_{X}, k_{y}) {mi}^{i k \cdot r} d k_{X} d k_{y} .

$\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}\vec{E}(\vec r)=\frac1{4\pi^2} \iint_\Omega \vec A(k_x, k_y) \mathrm{e}^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} \, \mathrm{d}k_x \mathrm{d}k_y.$

De manera similar, el campo magnético es:

H (r) = \frac{1}{4 π^{2}} \iint_{Ω} \frac{k}{ω m_{0}} \times A (k_{X}, k_{y}) {mi}^{i k \cdot r} d k_{X} d k_{y} .

$\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}\vec{H}(\vec r)=\frac1{4\pi^2} \iint_\Omega \frac{\vec k}{\omega \mu_0} \times \vec A(k_x, k_y) \mathrm{e}^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} \, \mathrm{d}k_x \mathrm{d}k_y.$

Bien, este es el escenario. Ahora deseo calcular el vector de Poynting promedio $\langle \vec S \rangle$ :

⟨ S ⟩ = \frac{1}{2} Re [mi (r) \times H (r)^{*}] .

$\langle \vec S \rangle = \frac12 \operatorname{Re} [\vec E(\vec r) \times \vec H(\vec r)^*].$ ¿Hay alguna manera de expresar

⟨ S ⟩

$\langle \vec S \rangle$ en buena forma? Integrales de funciones de

A

$\vec A$ Por ejemplo. Obtengo expresiones horribles con circunvoluciones que no me dan una fórmula compacta agradable.

Sé que esto en realidad podría ser más matemática que física, pero podría ser posible que las condiciones de contorno físicas brinden una mejor solución.

david z

Revisaré el libro de electrodinámica de Jackson y veré si dice algo relevante, aunque si estás decidido a expresar

⟨ S ⟩

$\langle S\rangle$ en términos del potencial del vector espacio-momento, es posible que no puedas hacer nada mejor que una convolución.

JT_NL

@David: quiero una expresión que sea la menos costosa desde el punto de vista computacional. Si eso tiene una convolución, que así sea :-).

colin k

La convolución apesta, computacionalmente; pero siempre hay trucos de transformada de Fourier para ahorrar tiempo.

Respuestas (1)

Descomposición de Fourier del campo eléctrico

Revisaré el libro de electrodinámica de Jackson y veré si dice algo relevante, aunque si estás decidido a expresar $\langle S\rangle$ en términos del potencial del vector espacio-momento, es posible que no puedas hacer nada mejor que una convolución.
@David: quiero una expresión que sea la menos costosa desde el punto de vista computacional. Si eso tiene una convolución, que así sea :-).
La convolución apesta, computacionalmente; pero siempre hay trucos de transformada de Fourier para ahorrar tiempo.

alexey bobrick · Answer 1

Una forma de simplificar las expresiones sería calcular $\bf S$ en el espacio de momentos:

S_{pag} (k^{″}) = \int {mi}^{- i k^{″} r} d r (\frac{1}{2} R mi (mi (r) \times H (r)^{*})) = \frac{1}{4} \int {mi}^{- i k^{″} r} d r (mi (r) \times H (r)^{*} + mi (r)^{*} \times H (r)) = \frac{1}{4} \frac{1}{dieciséis π^{4} ω m_{0}} \int d r \int d k \int d k^{'} {mi}^{- i k^{″} r} [((A (k) {mi}^{i k r}) \times (k^{'} \times A (k^{'})^{*} {mi}^{- i k^{'} r}) + + (A (k)^{*} {mi}^{- i k r}) \times (k^{'} \times A (k^{'}) {mi}^{i k^{'} r}))]

$\newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\bb}[1]{{\bf #1}} \bb{S}_p({\bf k}'') = \int e^{-i\bb{k}''\bb{r}}\dd \bb{r}\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{Re}(\bb{E}(\bb{r})\times\bb{H}(\bb{r})^*)\right)\\ =\dfrac{1}{4}\int e^{-i\bb{k}''\bb{r}}\dd \bb{r}\left(\bb{E}(\bb{r})\times\bb{H}(\bb{r})^*+\bb{E}(\bb{r})^*\times\bb{H}(\bb{r})\right)\\ =\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{16\pi^4 \omega \mu_0}\int \dd \bb{r} \int \dd \bb{k}\int \dd \bb{k}'e^{-i\bb{k}''\bb{r}}[\left((\bb{A}(\bb{k})e^{i\bb{k}\bb{r}})\times(\bb{k}'\times \bb{A}(\bb{k'})^*e^{-i\bb{k'}\bb{r}})+\\ +(\bb{A}(\bb{k})^*e^{-i\bb{k}\bb{r}})\times(\bb{k}'\times \bb{A}(\bb{k'})e^{i\bb{k'}\bb{r}})\right)]$ Entonces notamos que la integración sobre

r

$\bb{r}$ mata a los exponentes y proporciona

δ

$\delta$ -términos de función:

S_{pag} (k^{″}) = \frac{1}{4} \frac{1}{4 π^{2} ω m_{0}} \int d k \int d k^{'} [(A (k) \times (k^{'} \times A (k^{'})^{*}) d (k - k^{'} - k^{″}) + + A (k)^{*} \times (k^{'} \times A (k^{'})) d (k^{'} - k - k^{″}))] = \frac{1}{4} \frac{1}{4 π^{2} ω m_{0}} \int d k^{'} [A (k^{'} + k^{″}) \times (k^{'} \times A (k^{'})^{*}) + A (k^{'} - k^{″})^{*} \times (k^{'} \times A (k^{'}))]

$\bb{S}_p({\bf k}'')=\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4\pi^2 \omega \mu_0} \int \dd \bb{k}\int \dd \bb{k}'[\left(\bb{A}(\bb{k})\times(\bb{k}'\times \bb{A}(\bb{k'})^*)\delta(\bb{k}-\bb{k}'-\bb{k}'')+\\ +\bb{A}(\bb{k})^*\times(\bb{k}'\times \bb{A}(\bb{k'}))\delta(\bb{k}'-\bb{k}-\bb{k}'')\right)]\\ =\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4\pi^2 \omega \mu_0} \int \dd \bb{k}'\left[\bb{A}(\bb{k}'+\bb{k}'')\times(\bb{k}'\times \bb{A}(\bb{k'})^*)+\bb{A}(\bb{k}'-\bb{k}'')^*\times(\bb{k}'\times \bb{A}(\bb{k'}))\right]$

Potencialmente, podría simplificar esto un poco más, si hubiera alguna relación entre $\bb{A}$ y $\bb{k}$ . Volviendo a la expresión de coordenadas para $\bb{S}$ requerirá otra integración y no será más simple que la forma original que había proporcionado.

Descomposición de Fourier del campo eléctrico

JT_NL

david z

JT_NL

colin k

Respuestas (1)

alexey bobrick

¿Se puede cambiar la naturaleza de una onda EM después de interactuar con algún aparato?

Usando exponencial complejo para representar ondas en EM [duplicar]

Propagación de ondas mecánicas en el vacío.

¿Cómo dibujar todos los vectores de campo eléctrico asociados con una onda em?

¿Las partículas cargadas en movimiento rectilíneo uniforme también dan lugar a campos magnéticos con respecto a las referencias estacionarias?

¿Tiene una onda reflejada un cambio de fase arbitrario?

¿Los coeficientes de reflexión y transmisión de las ondas corresponden a las condiciones de contorno de Neumann y Dirichlet en la interfaz entre dos medios?

Solución de la ecuación de onda [cerrado]

¿Potencia transmitida y contradicción del teorema de Poynting?

Relación entre el número de onda y la constante de propagación