Derivar una identidad combinatoria

$$\begin{aligned} \sum^n_{k=0}k\binom{n}{k}a^k(1-a)^{n-k}&=\sum^n_{k=1}\frac{n(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}a^k(1-a)^{n-k}\\ &=na\sum^n_{k=1}\binom{n-1}{k-1}a^{k-1}(1-a)^{(n-1)-(k-1)}\\ &=na\sum^n_{k=0}\binom{n-1}{k}a^k(1-a)^{(n-1)-k}\\ &=na(a+1-a)^{n-1} \end{aligned}$$

La respuesta de Oliver es genial, pero en caso de que te gusten los derivados como a mí,

$$\begin{align} \frac{\partial}{\partial y}(x+y)^n = \sum_{k=0}^n { n \choose k} x^{n-k} \frac{\partial}{\partial y}y^k\newline n(x+y)^{n-1}=\sum_{k=0}^n { n \choose k} k x^{n-k} y^{k-1} \end{align}$$

Tomando$x = (1-a)$y$y = a$,$x+y = 1$,

$$\begin{align} na=\sum_{k=0}^n { n \choose k} k (1-a)^{n-k} a^{k} \end{align}$$

La expresión que se da como referencia es el número esperado de bolas, teniendo prob.$a$de ser extraído con reposición de una urna que contenga un total de$n$pelotas.

$n x/(x+y)$es el número esperado de bolas "tipo x" en$n$bolas extraídas sin reposición de$x+y$bolas totales: una media muestral.

Tienes$\binom{x}{k}$formas de extraer un$k$-subconjunto del conjunto de$x$bolas (etiquetadas) y$\binom{y}{n-k}$extraer$n-k$desde el$y$. En total

$$\sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)k\,\left( { \le \,n} \right)} {\left( \matrix{ x \cr k \cr} \right)\left( \matrix{ y \cr n - k \cr} \right)} = \left( \matrix{ x + y \cr n \cr} \right)$$ maneras.

Entonces

$$n{x \over {x + y}} = {1 \over {\left( \matrix{ x + y \cr n \cr} \right)}}\sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)k\,\left( { \le \,n} \right)} {k\left( \matrix{ x \cr k \cr} \right)\left( \matrix{ y \cr n - k \cr} \right)}$$