¿Derivación de la ley de Faraday usando la fuerza de Lorentz?

Con un bucle estacionario de alambre y campo.$\vec B$variando en el tiempo, no parece que puedas explotar la fuerza de Lorentz, porque es difícil introducir la velocidad$v$. Pero otra configuración puede ser más útil, vea la imagen.

Una varilla metálica (naranja) cruza las líneas magnéticas (azul claro) con una velocidad constante$v$(azul) en la dirección mostrada. De hecho, mueve los electrones en la barra como su fórmula$(1)$dice. La varilla se desliza sobre dos pistas metálicas (gris claro) que se conectan a través de otra varilla (gris claro) para formar un circuito cerrado.

Aunque el campo$B$es constante, el flujo magnético$\Phi$varía en el tiempo, porque

En nuestro caso es la superficie$S$es rectangular, por lo que podemos escribir el flujo como$\Phi_B = B S = B L D$, dónde$D$es la longitud de la varilla, y$L$la longitud de las pistas metálicas sobre las que se desliza la varilla.

Para la fuerza electromotriz nos interesa la derivada del flujo con el tiempo

porque$\text dL/dt = -v$.

Ahora, creo que mi fórmula$\text {(ii)}$y tu$(2)$empiezan a parecerse unos a otros. lo que falta en mi$\text {(ii)}$son los cargos$q$, y lo que tiene que aparecer en tu$(2)$es la longitud de la barra$D$, que probablemente está conectado con el elemento de distancia$\text d \vec {\ell}$. Además, dado que en nuestro caso la fuerza$\vec F$en tus$(1)$está a lo largo de la barra, y la velocidad de la barra$\vec v$es perpendicular a$B$, los tres vectores$\vec F$,$\vec v$y$\text d \vec {\ell}$son mutuamente perpendiculares, st el hecho de que en mi$\text {(ii)}$, el producto vectorial no aparece, no es una preocupación.

En este punto les dejo el tema a ustedes . Les sugiero que piensen cuál es la relación entre el trabajo$W$y diferencia de potencial$\mathcal E$, y cuál es la conexión entre la integración sobre el ciclo en su$(2)$y la cantidad$D$en mi$\text {(ii)}$. Pista: en las barras grises no se produce fuerza electromotriz.

Para un alambre delgado, con las cargas dentro del alambre, el cambio instantáneo en el flujo magnético es igual a la integral de línea de la Fuerza de Lorentz alrededor del circuito instantáneo (que en realidad es diferente al trabajo realizado cuando una partícula se mueve alrededor de un alambre a través de tiempo). Sin embargo, la parte magnética de la fuerza de Lorentz se debe enteramente al movimiento del circuito a través de la fuerza instantánea.$\vec{B}$campo, y la parte eléctrica de la Fuerza de Lorentz está 100% relacionada con el flujo instantáneo de$\partial \vec{B} /\partial t$a través de un área instantáneamente atravesada por el circuito.

Por lo tanto, si su circuito es estacionario, su integral de$q\vec{vV}\times\vec{B}$le dará cero ya que la velocidad es aleatoria (térmicamente) (por lo tanto, se promedia entre las muchas cargas) o a lo largo de la dirección del cable (por qué estamos considerando un cable delgado), por lo que este vector,$q\vec{v}\times\vec{B}$, es ortogonal al alambre.

Evitar la circularidad es difícil, ya que en realidad es la circulación$\vec{E}$que provoca el cambio de$\vec{B}$. Y hay un circulante$\vec{E}$incluso dentro de las áreas atravesadas por el circuito (lejos de los cables). si desea una derivación completamente rigurosa, podría considerar la fuente de la$\vec{B}$campo, para que pueda ver qué causa el$\vec{B}$cambiar. Por ejemplo, envuelva un solenoide alrededor de su circuito. Para obtener una corriente a través de su solenoide, debe aplicar un campo eléctrico circulante. Y entonces la causalidad es clara.

Pero luego se convierte en un problema de inducción mutua.