dependencia geométrica de la tensión para un cuerpo cilíndrico sólido sujeto a una carga de presión uniforme?

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dependencia geométrica de la tensión para un cuerpo cilíndrico sólido sujeto a una carga de presión uniforme?

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Armadillo

Suponga que un cuerpo cilíndrico sólido, circular recto, tiene un eje largo de longitud $L$ y extremos, cada uno con un diámetro $D$ se colocó completamente sumergido en un fluido que tenía una presión hidrostática de $p$ , como se muestra en las siguientes figuras.

Si uno quisiera saber la distribución de esfuerzos dentro del cuerpo del cilindro, podría bisecar el cilindro de dos formas, como se muestra en la figura. Una forma sería bisecar a lo largo del eje largo del cilindro, indicado como Superficie 1, donde la superficie $A_1$ es igual a $LD$ . Otra forma sería bisecar el cilindro diametralmente, indicado como Superficie 2 en la figura, donde su área de superficie $A_2$ es igual a $\frac{\pi D^2}{4}$ .

A primera vista, si la presión del fluido de confinamiento que actúa sobre las superficies exteriores del cilindro es hidrostática, pensaría que la tensión resultante inducida dentro del cuerpo del cilindro sería isostática. Sin embargo, ¿sería esto cierto para cualquier longitud $L$ al diámetro de la cara final $D$ ¿relación? ¿Cómo se podría mostrar el esfuerzo interno resultante axial (a lo largo del eje largo del cilindro) y lateral (o dirección radial) usando un diagrama de cuerpo libre?

Mi intento de esto es el siguiente. Para la Superficie 1, puedo imaginar que las fuerzas internas resultantes tienen que contrarrestar las fuerzas normales. $F_n$ actuando sobre el plano provocado por la presión exterior. Podría mostrar esto usando la siguiente figura.

Suponiendo un área infinitesimal sobre la que actúe la presión externa, creo que podría encontrar la fuerza que actúa sobre la superficie 1 integrando primero la fuerza de presión que actúa sobre el cuarto de círculo y luego multiplicándola por 2 y luego por la longitud del cilindro. $L$ , es decir,

F_{norte} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} F_{R} porque θ d θ

$F_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}F_R \cos\theta ~\mathrm d\theta$

evaluando la integral,

F_{norte} = F_{R} [pecado (\frac{π}{2}) - pecado (0)] = F_{R}

$F_n = F_R\left[\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin(0)\right]=F_R$

multiplicando por 2 y por $L$ ,

F_{norte} = 2 F_{R} L

$F_n = 2F_RL$

Como la presión es fuerza sobre área, $F_R$ se iguala a la presión de la siguiente manera

F_{R} = pag A = pag (\frac{π D}{2}) L

$F_R=pA=p\left(\frac{\pi D}{2}\right)L$

dónde $\left(\frac{\pi D}{2}\right)$ es la longitud del arco del semicírculo. Sustituyendo, resolvemos para la tensión que actúa sobre la superficie 1,

σ_{1} = \frac{F_{{norte}_{1}}}{A_{1}} = \frac{2 pag (\frac{π D}{2}) L^{2}}{D L} = pag π L

$\sigma_1=\frac{F_{n_1}}{A_1}=\frac{2p(\frac{\pi D}{2})L^2}{DL}=p\pi L$

El esfuerzo para la superficie 2 debido a la presión que actúa sobre la cara del extremo sería

σ_{2} = pag

$\sigma_2=p$

Por lo tanto, se podría decir que la relación de esfuerzo entre la longitud y el diámetro del cilindro es igual a

\frac{pag π L}{pag} = π L

$\frac{p\pi L}{p}=\pi L$

jerbo sammy

"Revisar mi trabajo" no es una pregunta aceptable en este sitio. ¿Tienes alguna razón para dudar del resultado? ¿Una dificultad conceptual? De lo contrario, esperamos que hagas uso de los recursos disponibles, como compañeros de clase o un profesor, para "verificar tu trabajo".

Armadillo

@sammygerbil tienes razón. Dudo del resultado porque dudo de mis habilidades matemáticas y de resolución de problemas. Iría a un maestro o compañeros de clase si estuviera en la escuela, pero no estoy en la escuela. ¿Cómo podría reformular mi pregunta?

Armadillo

Además, no sé cómo se agregó la etiqueta "tarea" a mi pregunta.

jerbo sammy

Agregué la etiqueta "tareas y EJERCICIOS". Este último incluye cálculos de un resultado deseado, como aquí, especialmente cuando la pregunta es "verificar mi trabajo". ... Su párrafo "Al principio pensé..." parece el comienzo de una duda conceptual, pero no da ninguna razón para ello. Su intuición le dice que la tensión interna es isostática, pero no parece tener motivos para dudar de ello, por ejemplo, algún resultado o principio contrario.

Armadillo

@sammygerbil Bueno, mostré mi trabajo y descubrí que los valores de estrés no son los mismos. Si mi trabajo es correcto, no lo sé. Actualizaré mi pregunta para indicar explícitamente por qué dudo de la condición isostática. A partir de ese momento, ¿qué más puedo hacer para mejorar esta pregunta? Si sigue siendo una pregunta inaceptable, la eliminaré. Sólo házmelo saber

jerbo sammy

Su duda se basa enteramente en su cálculo, que me cuesta seguir y que no parece ser correcto. Tienes diferentes unidades para

σ_{1}

$\sigma_1$ y

σ_{2}

$\sigma_2$ , y resultados contradictorios de

F_{n} = F_{R}

$F_n=F_R$ y

F_{n} = 2 F_{R} L

$F_n=2F_R L$ . ... "¿Cuál es el error en mi cálculo?" tampoco es una buena pregunta aquí. Pero también podría esperar a escuchar lo que dicen otros usuarios antes de eliminar.

Armadillo

@sammygerbil Bien, entonces, ¿qué debo hacer? ¿Eliminar la pregunta? Si mi cálculo fuera correcto, ¿no seguiría siendo una pregunta de "verificar mi trabajo"? ¿Cómo funciona la "bisagra" en esta situación?

jerbo sammy

Le sugiero que vuelva a revisar su cálculo, particularmente en lo que respecta a los posibles errores señalados en mi último comentario. Si su cálculo no es correcto, no se requiere explicación. No veo ninguna bisagra en tu diagrama.

Armadillo

@sammygerbil Revisé mi cálculo nuevamente (vea la respuesta a continuación) y descubrí que el estrés es isostático. Ahora no estoy seguro de si esta publicación debe eliminarse o conservarse. Por favor avise, y también gracias por su ayuda.

jerbo sammy

Está bien responder a su propia pregunta. No hay ninguna regla que diga que la pregunta debe eliminarse en estas circunstancias. Sería una pena borrarlo después de todo tu trabajo en él.

Respuestas (1)

dependencia geométrica de la tensión para un cuerpo cilíndrico sólido sujeto a una carga de presión uniforme?

"Revisar mi trabajo" no es una pregunta aceptable en este sitio. ¿Tienes alguna razón para dudar del resultado? ¿Una dificultad conceptual? De lo contrario, esperamos que hagas uso de los recursos disponibles, como compañeros de clase o un profesor, para "verificar tu trabajo".
@sammygerbil tienes razón. Dudo del resultado porque dudo de mis habilidades matemáticas y de resolución de problemas. Iría a un maestro o compañeros de clase si estuviera en la escuela, pero no estoy en la escuela. ¿Cómo podría reformular mi pregunta?
Además, no sé cómo se agregó la etiqueta "tarea" a mi pregunta.
Agregué la etiqueta "tareas y EJERCICIOS". Este último incluye cálculos de un resultado deseado, como aquí, especialmente cuando la pregunta es "verificar mi trabajo". ... Su párrafo "Al principio pensé..." parece el comienzo de una duda conceptual, pero no da ninguna razón para ello. Su intuición le dice que la tensión interna es isostática, pero no parece tener motivos para dudar de ello, por ejemplo, algún resultado o principio contrario.
@sammygerbil Bueno, mostré mi trabajo y descubrí que los valores de estrés no son los mismos. Si mi trabajo es correcto, no lo sé. Actualizaré mi pregunta para indicar explícitamente por qué dudo de la condición isostática. A partir de ese momento, ¿qué más puedo hacer para mejorar esta pregunta? Si sigue siendo una pregunta inaceptable, la eliminaré. Sólo házmelo saber
Su duda se basa enteramente en su cálculo, que me cuesta seguir y que no parece ser correcto. Tienes diferentes unidades para $\sigma_1$ y $\sigma_2$ , y resultados contradictorios de $F_n=F_R$ y $F_n=2F_R L$ . ... "¿Cuál es el error en mi cálculo?" tampoco es una buena pregunta aquí. Pero también podría esperar a escuchar lo que dicen otros usuarios antes de eliminar.
@sammygerbil Bien, entonces, ¿qué debo hacer? ¿Eliminar la pregunta? Si mi cálculo fuera correcto, ¿no seguiría siendo una pregunta de "verificar mi trabajo"? ¿Cómo funciona la "bisagra" en esta situación?
Le sugiero que vuelva a revisar su cálculo, particularmente en lo que respecta a los posibles errores señalados en mi último comentario. Si su cálculo no es correcto, no se requiere explicación. No veo ninguna bisagra en tu diagrama.
@sammygerbil Revisé mi cálculo nuevamente (vea la respuesta a continuación) y descubrí que el estrés es isostático. Ahora no estoy seguro de si esta publicación debe eliminarse o conservarse. Por favor avise, y también gracias por su ayuda.
Está bien responder a su propia pregunta. No hay ninguna regla que diga que la pregunta debe eliminarse en estas circunstancias. Sería una pena borrarlo después de todo tu trabajo en él.

Armadillo · Answer 1

Basado en la sugerencia de @Sammygerbil, continué trabajando en este problema, revisando mi cálculo. Con más búsquedas en Internet y recursos, encontré que la correspondencia y la respuesta del usuario @Jared ( aquí ) son de gran ayuda. Siguiendo su respuesta, podemos determinar la cantidad de fuerza que actúa sobre la Superficie 1 debido a la presión de confinamiento. Usando la caricatura a continuación, podemos visualizar más fácilmente el problema.

Esta caricatura intenta mostrar el cilindro en una vista en perspectiva, ilustrando la cara del extremo del cilindro, el área diferencial sobre la cual actúa la presión de confinamiento en la superficie lateral del cilindro y los ángulos y vectores de fuerza componentes como resultado de la presión aplicada en relación con el eje largo del cilindro. Observando la simetría del problema, y que el problema se refiere a la condición estática, las fuerzas que actúan verticalmente hacia abajo son iguales a las fuerzas que actúan verticalmente hacia arriba. Por lo tanto, podemos analizar la mitad del cilindro.

Nuevamente, siguiendo la explicación de Jared , notamos que la fuerza diferencial debida a la presión de confinamiento es proporcional al área diferencial sobre la cual actúa la presión, es decir,

\begin{matrix} (1) & d F = pag * d A \end{matrix}

$\tag{1} dF=p*dA$

Dado que la fuerza de presión del fluido actúa normal a la superficie sobre la que actúa y la superficie sobre la que actúa es curva, hay dos componentes direccionales de la fuerza resultante en relación con la Superficie 1: una fuerza paralela a la Superficie 1, denotada como $F_h$ (h para horizontal), y una fuerza ortogonal a la superficie 1, denotada como $F_v$ (v de vertical). La componente vertical de la fuerza diferencial es proporcional a la $\sin$ del ángulo $(\theta)$ entre el eje de la línea central de la Superficie 1 y la dirección de la fuerza diferencial. Esto se puede escribir matemáticamente como,

\begin{matrix} (2) & d F_{v} (θ) = pag * d A * pecado (θ) \end{matrix}

$\tag{2} dF_v(\theta)=p*dA*\sin (\theta)$

Todas las componentes de la fuerza vertical debidas a la presión alrededor de la circunferencia del cilindro pueden sumarse mediante la integración de las áreas diferenciales, de $0$ radianes a $\pi$ radianes y a lo largo del cilindro desde $0$ a L. El área diferencial en cada valor de $\theta$ es igual a

\begin{matrix} (3) & d A = R \cdot d θ * d X \end{matrix}

$\tag{3} dA=R\cdot d\theta * dx$

dónde $R$ es el radio del cilindro y $dx$ es la longitud diferencial a lo largo del eje longitudinal del cilindro. Sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación 2,

\begin{matrix} (4) & d F_{v} (θ, X) = pag * R * pecado (θ) d θ * d X \end{matrix}

$\tag{4} dF_v(\theta,x)=p*R*\sin (\theta) d\theta * dx$

ahora tenemos una ecuación de fuerza diferencial en función de la ubicación en la superficie lateral del cilindro. integrando desde $0$ a $\pi$ y de $0 \leq x \leq L$ da:

\begin{matrix} (5) & F_{v} = pag * R \int_{0}^{π} pecado (θ) d θ \int_{0}^{L} d X \end{matrix}

$\tag{5} F_v= p*R \int\limits_0^\pi\sin(\theta)d\theta \int\limits_0^L dx$

\begin{matrix} (6) & F_{v} = pag * R [- porque (π) + porque (0)] L \end{matrix}

$\tag{6} F_v= p*R [-\cos(\pi)+\cos(0)] L$

\begin{matrix} (7) & F_{v} = pag * R [- (- 1) + (1)] L \end{matrix}

$\tag{7} F_v= p*R [-(-1)+(1)] L$

\begin{matrix} (8) & F_{v} = 2 pag R L \end{matrix}

$\tag{8} F_v= 2pRL$

El área de la superficie 1 es $DL$ que es equivalente a $2RL$ . Por lo tanto, la tensión en la superficie 1 es

\begin{matrix} (9) & σ_{1} = \frac{2 pag R L}{2 R L} = pag \end{matrix}

$\tag{9} \sigma_1= \frac{2pRL}{2RL}=p$

Por lo tanto, la tensión resultante inducida dentro del cuerpo del cilindro es de hecho isostática y esto es cierto para cualquier relación entre la longitud y el diámetro de la cara final.

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