Dependencia de los momentos multipolares en el origen

Considere primero la expansión del potencial electrostático$\Phi$en una situación estacionaria

$$\Phi(\vec{r}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r} + \frac{\vec{d}\cdot \vec{r}}{4\pi \epsilon_0 r^3} + \mathcal{O}(r^{-3})$$ Ahora cambiemos nuestro origen por $\vec{a}, \vec{R} = \vec{r} - \vec{a}$, dónde $|\vec{a}| \ll r$. El término del monopolo luego se expande como $$\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 |\vec{R} + \vec{a}|} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R} - \frac{Q(\vec{a}\cdot \vec{R})}{4 \pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$$ El término dipolo es simplemente $$\frac{\vec{d}\cdot \vec{r}}{4\pi \epsilon_0 r^3} = \frac{\vec{d}\cdot \vec{R}}{4\pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$$ Ahora echemos un vistazo a todo el potencial. $$\Phi(\vec{r}) = \Phi(\vec{R}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R} + \frac{(\vec{d}-Q\vec{a})\cdot \vec{R}}{4\pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$$ Tenga en cuenta que esto es (dentro de la aproximación) solo una descripción diferente del mismo potencial que el anterior. En otras palabras, si observa el mismo punto físico, obtendrá el mismo valor de $\Phi$independientemente de si estás en el $\vec{r}$coordenadas o el $\vec{R}$coordenadas

Ahora denotemos el dipolo definido con respecto a$\vec{R}$como$\vec{D}$y calcular

$$\vec{D} = \int \rho \vec{R} d V = \int \rho \vec{r} d V - \int \rho \vec{a} d V = \vec{d} - Q\vec{a}$$ Entonces vemos que nuestro potencial cambiado en $\vec{R}$Las coordenadas se pueden escribir como $$\Phi(\vec{R}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R} + \frac{\vec{D}\cdot \vec{R}}{4\pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$$ que es exactamente la expansión multipolar que obtendría si comenzara desde el $\vec{R}$coordenadas en primer lugar.

Es decir, las expansiones multipolares son covariantes con respecto a los cambios de coordenadas. Es posible demostrar que esto se aplica a todos los órdenes con más y más términos pasando de los órdenes inferiores a los superiores, e incluso puede mostrar la covarianza de la expansión multipolar con respecto a todo el grupo de Poincaré (con pequeñas traducciones).

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Probablemente ahora esté preguntando qué está pasando con su fórmula de radiación entonces. El truco es que las fórmulas que das se aplicarán solo en marcos inerciales. En particular,$\vec{a}$normalmente será un cambio constante. Sin embargo, su fórmula de radiación se aplica a las magnitudes de oscilación a las que se aplica una constante.$\vec{a}$tendrá contribuciones subliminales o que se desvanecerán por completo.

Considere el momento dipolar. Tenemos$\vec{D} = \vec{d} - Q\vec{a}$. Entonces ves que desde$\dot{Q} = \dot{a} = 0$, tenemos$\dot{D} = \dot{d}$y no hay ningún término adicional que surja en la fórmula de radiación del cambio.

En cuanto al momento magnético dipolar, tenemos

$$\vec{\mu}' = \vec{\mu} + \frac{1}{c}\vec{a} \times \int \vec{j}\, dV$$ Es un argumento un poco más complicado por qué el término adicional será subliminal.

Primero reescribamos como una integral doble usando el teorema de la divergencia

$$\int j_i (\vec{R}) \, dV(\vec{R}) = \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{x_i=const.} \! \!\!\! \vec{j} \cdot d \vec{S} \right) d x_i = \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^{x_i =const.} \! \! \! \nabla \cdot \vec{j}(\vec{R}') d V(\vec{R}') \right) d x_i$$ Es decir, usamos el hecho de que la integral de $j_i$sobre una superficie de constante $x_i$también se puede escribir como una divergencia en un volumen acotado por $x_i = const.$(asumiendo, por supuesto, que las corrientes se desvanecen fuera del cuerpo, por lo que las contribuciones de los otros límites son simplemente cero). Ahora usemos la ecuación de continuidad $\nabla \cdot \vec{j} = - \partial \rho/\partial t$para finalmente expresar $$\vec{\mu}' = \frac{1}{c}\int \vec{R} \times \vec{j} dV = \frac{1}{c}\int \vec{r} \times \vec{j} dV - \frac{1}{c}\vec{a} \times \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^{\vec{x}} \! \frac{\partial \rho} {\partial t} d V \right) d \vec{x}$$ (Si no está seguro de lo que significa el producto vectorial, simplemente escriba las expresiones usando el símbolo y los componentes de Levi-Civita). Ahora supongamos que tenemos $\rho = \rho_0 + \rho_{osc} e^{i\omega t}$y $\vec{j} = \vec{j}_{0} + \vec{j}_{osc} e^{i\omega t}$, dónde $\rho_0, \rho_{osc},\vec{j}_0 ,\vec{j}_{osc}$son funciones de posición solamente. Entonces vemos que $$\vec{\mu}'_{osc} = \vec{\mu}_{osc} - \frac{\omega}{c}\vec{a}\times \vec{\Delta}$$ dónde $\vec{\mu}_{osc} = \int \vec{j}_{osc} \times \vec{r} dV$, y $\vec{\Delta} = \int (\int^\vec{x} \rho_{osc} dV) d\vec{x}$. Desde $\vec{d}_{osc} = \int \rho_{osc} \vec{r} dV$, tendremos $\vec{\Delta} \sim \vec{d}$y por fin podemos escribir $$\vec{\mu}'_{osc} = \vec{\mu}_{osc} + \mathcal{O}( \frac{\omega}{c} a \,d_{osc} )$$ Es decir, el cambio induce solo una corrección de subdirección.

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La esencia del argumento es que si tiene un cuerpo del que no salen corrientes, entonces un valor distinto de cero$\int \vec{j} dV$corresponde a cambios de densidad de carga en algún lugar dentro del cuerpo ($\partial \rho/\partial t \neq 0$). Sin embargo, en una oscilación estacionaria, esto corresponde a un término de mayor$\omega$poder en comparación con el$\mu$oscilación.

La razón es la siguiente: la corriente tiene las dimensiones$[Charge \cdot distance / time]$, la escala de carga está determinada por la carga total del cuerpo, la distancia por el tamaño del cuerpo y el tiempo por 1) el tiempo de cruce de la partícula cargada en el cuerpo y 2) el tiempo de oscilación de las cargas. El término$\int \vec{r} \times \vec{j} dV$captura esta "corriente de cruce" cuya magnitud no depende de$\omega$, pero el término$\vec{a} \times \int \vec{j} dV$captura solo la$\omega$-corriente oscilatoria proporcional.