Demuestra que dS=1TdU+1TPdV−1TμdNdS=1TdU+1TPdV−1TμdN\mathrm{d}S=\frac{1}{T}\,\mathrm{d}U+\frac{1}{T}\,P\ ,\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\,\mu\,\mathrm{d}N [cerrado]

Question

Demuestra que dS=1TdU+1TPdV−1TμdNdS=1TdU+1TPdV−1TμdN\mathrm{d}S=\frac{1}{T}\,\mathrm{d}U+\frac{1}{T}\,P\ ,\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\,\mu\,\mathrm{d}N [cerrado]

RESPLANDOR

Necesito ayuda para demostrar que

\begin{aligned} (1) & d S & = {(\frac{\partial S}{\partial tu})}_{V, norte} d tu + {(\frac{\partial S}{\partial V})}_{tu, norte} d V + {(\frac{\partial S}{\partial norte})}_{V, tu} d norte \\ (2) & = \frac{1}{T} d tu + \frac{1}{T} PAG d V - \frac{1}{T} m d norte \end{aligned}

$\begin{align*}\mathrm{d}S &=\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}\mathrm{d}U+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}\mathrm{d}V+\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}dN\tag{1}\\&=\frac{1}{T}\mathrm{d}U+\frac{1}{T}P\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\mu\mathrm{d}N\tag{2}\end{align*}$

dónde $U$ es la Energía Interna del sistema; $S$ es la Entropía del sistema; $N$ es el número de partículas en el sistema; $V$ es el Volumen del sistema; $P$ es la Presión de los sistemas; $T$ es la temperatura absoluta (termodinámica) del sistema y $\mu$ es el potencial químico del sistema.

Sé que los coeficientes de $\mathrm{d}U$ , $\,\mathrm{d}V$ y $\mathrm{d}N$ debe coincidir para las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ es decir.

\begin{matrix} (A) & {(\frac{\partial S}{\partial tu})}_{V, norte} = \frac{1}{T} \end{matrix}

$\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}=\frac{1}{T}\tag{A}$

\begin{matrix} (B) & {(\frac{\partial S}{\partial V})}_{tu, norte} = \frac{1}{T} PAG \end{matrix}

$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}=\frac{1}{T}P\tag{B}$

\begin{matrix} (C) & {(\frac{\partial S}{\partial norte})}_{V, tu} = - \frac{1}{T} m \end{matrix}

$\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}=-\frac{1}{T}\mu\tag{C}$

Pero simplemente no tengo idea de cómo mostrar $(\mathrm{A})$ , $(\mathrm{B})$ y $(\mathrm{C})$ . Entonces, esto significa que estoy atascado desde el principio y, por lo tanto, no puedo mostrar mi intento de proporcionar una solución (motivo para el cierre de la pregunta).

Por contexto, he agregado las páginas de mi texto que muestra la equivalencia de ecuaciones. $(1)$ y $(2)$ :

¿Podría alguien por favor ayudarme a demostrar que

\begin{aligned} {(\frac{\partial S}{\partial tu})}_{V, norte} d tu + {(\frac{\partial S}{\partial V})}_{tu, norte} d V + {(\frac{\partial S}{\partial norte})}_{V, tu} d norte \\ = \frac{1}{T} d tu + \frac{1}{T} PAG d V - \frac{1}{T} m d norte \end{aligned}

$\begin{align*}&\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}\mathrm{d}U+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}\mathrm{d}V+\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}dN\\&=\frac{1}{T}\mathrm{d}U+\frac{1}{T}P\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\mu\mathrm{d}N\end{align*}$

Cualquier sugerencia o sugerencia es muy apreciada. Gracias.

emilio

Recientemente leí que la S realmente es una función implícita o algo así, creo

S (U (V, N, T), V (U, N, T), N (U, V, T))

$S(U(V,N,T),V(U,N,T), N(U,V,T))$ tal vez ?

RESPLANDOR

@Emil Bien, gracias por tu respuesta. Siendo ese el caso, ¿cómo puedo usar esa información para mostrar que

\begin{aligned} {(\frac{\partial S}{\partial tu})}_{V, norte} d tu + {(\frac{\partial S}{\partial V})}_{tu, norte} d V + {(\frac{\partial S}{\partial norte})}_{V, tu} d norte \\ = \frac{1}{T} d tu + \frac{1}{T} PAG d V - \frac{1}{T} m d norte \end{aligned}

$\begin{align*}&\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}\mathrm{d}U+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}\mathrm{d}V+\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}dN\\&=\frac{1}{T}\mathrm{d}U+\frac{1}{T}P\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\mu\mathrm{d}N\end{align*}$

emilio

No sé... pero creo que quedará más claro si lo escribes. Intenté escribir el diferencial pero creo que me equivoqué... si mal no recuerdo

d S = \partial_{U} (S) \cdot (d V \partial_{V} + d N \partial_{N} + d T \partial_{T}) (U) + \dots

$dS = \partial_U (S)\cdot (dV\partial_V + dN\partial_N + dT\partial_T)(U)+ \ldots$ (es decir, regla de la cadena)

RESPLANDOR

Gracias por tu ayuda, @Emil, pero desafortunadamente todavía no tengo idea de qué hacer. Parece que hay algo realmente simple que me estoy perdiendo aquí, ya que el autor del extracto que publiqué no mostró ningún paso intermedio para obtener

{(\frac{\partial S}{\partial tu})}_{V, norte} d tu + {(\frac{\partial S}{\partial V})}_{tu, norte} d V + {(\frac{\partial S}{\partial norte})}_{V, tu} d norte

$\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}\mathrm{d}U+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}\mathrm{d}V+\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}dN$ a

= \frac{1}{T} d tu + \frac{1}{T} PAG d V - \frac{1}{T} m d norte

$=\frac{1}{T}\mathrm{d}U+\frac{1}{T}P\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\mu\mathrm{d}N$

emilio

Ah y otra cosa, en termodinámica se suele suponer que las segundas derivadas tomadas en diferente orden son las mismas (

\partial_{U} \partial_{V} f = \partial_{V} \partial_{U} f

$\partial_U\partial_V f = \partial_V\partial_U f$ ). Ah, y generalmente asumen alguna forma para las leyes de la termodinámica. ¿Quizás usaron una de las leyes allí?

d U = T d S + o t h e r s t u f f

$dU=TdS + other stuff$ ?

RESPLANDOR

@Emil Sí, gracias porque las ecuaciones de estado requieren que los diferenciales sean exactos y la exactitud requiere

\frac{\partial^{2} tu}{\partial X \partial y} = \frac{\partial^{2} tu}{\partial y \partial X}

$\frac{\partial^2 U}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 U}{{\partial y}{\partial x}}$

emilio

Sin embargo, el punto en el texto sería discutible ... Ok, entonces

d S = \partial_{U} (S) \cdot (d V \partial_{V} + d N \partial_{N} + d T \partial_{T}) (U) + \partial_{V} (S) \cdot (d U \partial_{U} + d N \partial_{N} + d T \partial_{T}) (V) + \partial_{N} (S) \cdot (d V \partial_{V} + d U \partial_{U} + d T \partial_{T}) (N)

$dS=\partial_U(S)\cdot (dV\partial_V + dN \partial_N + dT \partial_T)(U) + \partial_V(S)\cdot (dU\partial_U + dN \partial_N + dT \partial_T)(V) + \partial_N(S)\cdot (dV\partial_V + dU \partial_U + dT \partial_T)(N)$ . A mi me parece que dicen

d U (\partial_{V} (S) \partial_{U} (V) + \partial_{N} (S) \partial_{U} (N)) = d U T^{- 1}

$dU(\partial_V(S)\partial_U(V)+\partial_N(S)\partial_U(N))=dU T^{-1}$ . No tengo idea de por qué. Creo que algo sobre los invariantes y los factores integrables está relacionado con T.

emilio

Puede ser que sus diferenciales también signifiquen algo como esto: dU=d(U(V,N)) y no lo expanden como lo hice yo (quizás debería haber usado una tilde en las funciones). En ese caso dicen

\partial_{\tilde{U}} (S) d \tilde{U} = \partial_{\tilde{U}} (S) (d V \partial_{V} + d N \partial_{N} + d T \partial_{T}) (\tilde{U}) = T^{- 1} d \tilde{U}

$\partial_{\tilde U}(S)d\tilde U=\partial_{\tilde U}(S)(dV\partial_V+dN\partial_N + dT\partial_T)(\tilde U)=T^{-1}d\tilde U$ y así sucesivamente... que tipo de encaja con su

μ

$\mu$ Supongo

\partial_{\tilde{N}} (S) d \tilde{N} = - μ / T d \tilde{N}

$\partial_{\tilde N}(S)d\tilde N=-\mu/T d\tilde N$ como lo definieron pero todavía me parece raro.

emilio

¿Han definido

P / T d \tilde{V} = \partial_{\tilde{V}} (S) d \tilde{V}

$P/Td\tilde V=\partial_{\tilde V}(S)d\tilde V$ y

1 / T d \tilde{U} = \partial_{\tilde{U}} (S) d \tilde{U}

$1/T d\tilde U=\partial_{\tilde U}(S) d\tilde U$ ¿en algún lugar? En ese caso fue solo sustitución.

emilio

ah Simplemente eligieron coeficientes en términos de 1/T. Como

d S = a d U + b d V + c d N

$dS=adU+bdV+cdN$ con

a = 1 / T, b = P a, c = - μ a

$a=1/T, b=Pa, c=-\mu a$ . A menos que hayan proporcionado una definición de P en otro lugar que contradiga esto.

una mente curiosa

A menos que agregue las definiciones de

T, P

$T,P$ y

μ

$\mu$ , esta pregunta no tiene respuesta porque muchas personas podrían tomar sus eqs. (A), (B), (C) como definiciones de estas cantidades, por lo que no hay nada que mostrar.

emilio

Oh, podría haberme perdido algo, tal vez

S = S (\tilde{U} (U, V, N, T), \tilde{V} (U, V, N, T), \tilde{N} (U, V, N, T), \tilde{T} (U, V, N, T))

$S=S(\tilde U(U, V, N, T), \tilde V(U, V, N, T), \tilde N(U, V, N, T), \tilde T(U, V, N, T))$ . A ver si pasa alguien con más experiencia que yo.

Chet Miller

¿Se le permite empezar con

d U = T d S - P d V + μ d N

$dU=TdS-PdV+\mu dN$ ?

Kyle Arean-Raines

Solo agregaré que la regla del producto triple ( en.m.wikipedia.org/wiki/Triple_product_rule ) es útil.

Respuestas (1)

Demuestra que dS=1TdU+1TPdV−1TμdNdS=1TdU+1TPdV−1TμdN\mathrm{d}S=\frac{1}{T}\,\mathrm{d}U+\frac{1}{T}\,P\ ,\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\,\mu\,\mathrm{d}N [cerrado]

Recientemente leí que la S realmente es una función implícita o algo así, creo $S(U(V,N,T),V(U,N,T), N(U,V,T))$ tal vez ?
@Emil Bien, gracias por tu respuesta. Siendo ese el caso, ¿cómo puedo usar esa información para mostrar que $\begin{aligned} {(\frac{\partial S}{\partial tu})}_{V, norte} d tu + {(\frac{\partial S}{\partial V})}_{tu, norte} d V + {(\frac{\partial S}{\partial norte})}_{V, tu} d norte \\ = \frac{1}{T} d tu + \frac{1}{T} PAG d V - \frac{1}{T} m d norte \end{aligned}$ $\begin{align*}&\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}\mathrm{d}U+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}\mathrm{d}V+\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}dN\\&=\frac{1}{T}\mathrm{d}U+\frac{1}{T}P\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\mu\mathrm{d}N\end{align*}$
No sé... pero creo que quedará más claro si lo escribes. Intenté escribir el diferencial pero creo que me equivoqué... si mal no recuerdo $dS = \partial_U (S)\cdot (dV\partial_V + dN\partial_N + dT\partial_T)(U)+ \ldots$ (es decir, regla de la cadena)
Gracias por tu ayuda, @Emil, pero desafortunadamente todavía no tengo idea de qué hacer. Parece que hay algo realmente simple que me estoy perdiendo aquí, ya que el autor del extracto que publiqué no mostró ningún paso intermedio para obtener ${(\frac{\partial S}{\partial tu})}_{V, norte} d tu + {(\frac{\partial S}{\partial V})}_{tu, norte} d V + {(\frac{\partial S}{\partial norte})}_{V, tu} d norte$ $\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}\mathrm{d}U+\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}\mathrm{d}V+\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}dN$ a $= \frac{1}{T} d tu + \frac{1}{T} PAG d V - \frac{1}{T} m d norte$ $=\frac{1}{T}\mathrm{d}U+\frac{1}{T}P\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\mu\mathrm{d}N$
Ah y otra cosa, en termodinámica se suele suponer que las segundas derivadas tomadas en diferente orden son las mismas ( $\partial_U\partial_V f = \partial_V\partial_U f$ ). Ah, y generalmente asumen alguna forma para las leyes de la termodinámica. ¿Quizás usaron una de las leyes allí? $dU=TdS + other stuff$ ?
@Emil Sí, gracias porque las ecuaciones de estado requieren que los diferenciales sean exactos y la exactitud requiere $\frac{\partial^{2} tu}{\partial X \partial y} = \frac{\partial^{2} tu}{\partial y \partial X}$ $\frac{\partial^2 U}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 U}{{\partial y}{\partial x}}$
Sin embargo, el punto en el texto sería discutible ... Ok, entonces $dS=\partial_U(S)\cdot (dV\partial_V + dN \partial_N + dT \partial_T)(U) + \partial_V(S)\cdot (dU\partial_U + dN \partial_N + dT \partial_T)(V) + \partial_N(S)\cdot (dV\partial_V + dU \partial_U + dT \partial_T)(N)$ . A mi me parece que dicen $dU(\partial_V(S)\partial_U(V)+\partial_N(S)\partial_U(N))=dU T^{-1}$ . No tengo idea de por qué. Creo que algo sobre los invariantes y los factores integrables está relacionado con T.
Puede ser que sus diferenciales también signifiquen algo como esto: dU=d(U(V,N)) y no lo expanden como lo hice yo (quizás debería haber usado una tilde en las funciones). En ese caso dicen $\partial_{\tilde U}(S)d\tilde U=\partial_{\tilde U}(S)(dV\partial_V+dN\partial_N + dT\partial_T)(\tilde U)=T^{-1}d\tilde U$ y así sucesivamente... que tipo de encaja con su $\mu$ Supongo $\partial_{\tilde N}(S)d\tilde N=-\mu/T d\tilde N$ como lo definieron pero todavía me parece raro.
¿Han definido $P/Td\tilde V=\partial_{\tilde V}(S)d\tilde V$ y $1/T d\tilde U=\partial_{\tilde U}(S) d\tilde U$ ¿en algún lugar? En ese caso fue solo sustitución.
ah Simplemente eligieron coeficientes en términos de 1/T. Como $dS=adU+bdV+cdN$ con $a=1/T, b=Pa, c=-\mu a$ . A menos que hayan proporcionado una definición de P en otro lugar que contradiga esto.
A menos que agregue las definiciones de $T,P$ y $\mu$ , esta pregunta no tiene respuesta porque muchas personas podrían tomar sus eqs. (A), (B), (C) como definiciones de estas cantidades, por lo que no hay nada que mostrar.
Oh, podría haberme perdido algo, tal vez $S=S(\tilde U(U, V, N, T), \tilde V(U, V, N, T), \tilde N(U, V, N, T), \tilde T(U, V, N, T))$ . A ver si pasa alguien con más experiencia que yo.
Solo agregaré que la regla del producto triple ( en.m.wikipedia.org/wiki/Triple_product_rule ) es útil.

usuario108787 · Answer 1

\begin{matrix} (A) & {(\frac{\partial S}{\partial tu})}_{V, norte} = \frac{1}{T} \end{matrix}

$\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}=\frac{1}{T}\tag{A}$

Se define como una expresión para la temperatura y no se deriva. Una vez que te enseñan la entropía, la usan para ajustar la definición de temperatura.

\begin{matrix} (B) & {(\frac{\partial S}{\partial V})}_{tu, norte} = \frac{1}{T} PAG \end{matrix}

$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}=\frac{1}{T}P\tag{B}$

también se introduce por argumentación razonada, como la definición impuesta de presión, (cuando se obtiene el $P$ por sí solo), en lugar de cualquier derivación y me inclino a creer que esto se debe a que podría implicar una transformación de Legrande, que llevaría mucho tiempo explicar, además de estar un poco fuera de tema.

\begin{matrix} (C) & {(\frac{\partial S}{\partial norte})}_{V, tu} = \frac{1}{T} m \end{matrix}

$\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}=\frac{1}{T}\mu\tag{C}$

La expresión final implica ampliar la ecuación termodinámica para incluir el "trabajo químico" y se obtiene por

d tu = T d S - PAG d V + m d norte

$\mathrm{d}U= T\mathrm{d}S -P\mathrm{d}V + \mu \mathrm{d}N$

Ahora $U, S, V, N$ son todos capaces de cambiar en la ecuación anterior.

Así que imagina que tenemos las variables $U,S$ fijado

tal que

0 = T d S + m d norte

$0 = T\mathrm{d}S + \mu \mathrm{d}N$

lleva a

m = - T {(\frac{\partial S}{\partial norte})}_{V, tu}

$\mu = -T \left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}$

lo que lleva a

\begin{matrix} (C) & {(\frac{\partial S}{\partial norte})}_{V, tu} = - \frac{1}{T} m \end{matrix}

$\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}=-\frac{1}{T}\mu\tag{C}$

Revisé 3 libros diferentes de física térmica, y todos evitaron derivarlos explícitamente, confiando en cambio en argumentos razonados créanme más hay/había una referencia a que eran definiciones en los comentarios, así que...
Muchas gracias por su excelente respuesta y lamento haber tardado tanto en responder. Desde entonces, leí su respuesta. He estado buscando en libros y en línea alguna evidencia de $(A)$ (que descubrí que está vinculado a la termodinámica beta sin la constante de Boltzmann) y $(B)$ encontrado aquí: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/therid.html . También me llamó la atención que $(C)$ ya se ha definido en el extracto que publiqué en mi pregunta y también lo encontré aquí: theory.physics.manchester.ac.uk/~judith/stat_therm/node61.html donde hay un .....
enlace que define $(A)$ , $(B)$ y $(C)$ , pero no estoy de acuerdo con eso. Lo siento, el formato del comentario salió mal antes, disculpas.
Yo mismo carezco del representante, así que no puedo ayudarlo con la reapertura. Tipo de tarea = tarea ...... me atrapé en eso yo mismo. De los comentarios y la inicial. $\Delta T$ inclusión, confusión resultante y "ningún esfuerzo" debido a las páginas copiadas, que yo evitaría. Sin ofender, pero yo habría pensado lo mismo. Por favor, no lo tome a mal... La regla de oro de este sitio es... aprender y seguir adelante, la mejor de las suertes con su próxima pregunta.
Entendido, gracias por su consejo, seguro que funciona de manera diferente aquí que MSE. Saludos.

Demuestra que dS=1TdU+1TPdV−1TμdNdS=1TdU+1TPdV−1TμdN\mathrm{d}S=\frac{1}{T}\,\mathrm{d}U+\frac{1}{T}\,P\ ,\mathrm{d}V-\frac{1}{T}\,\mu\,\mathrm{d}N [cerrado]

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Confundido con la entropía y la desigualdad de Clausius

Cambio en la entropía del entorno termodinámico durante procesos isobáricos o isocóricos

¿Realmente la entropía no aumenta aquí?

Entropía y conducción de calor

Problema de Física: Entropía

segunda ley de la termodinámica

Demostrando que cVcVc_V es positivo

Caída de voltaje sobre una membrana celular

Tener un problema sobre la entropía, la termodinámica.

¿Por qué un gas ideal que experimenta un proceso isobárico no viola la segunda ley de la termodinámica?