Definición de energía potencial

La definición más fácil de energía potencial, al menos en 1D, es simplemente como la integral indefinida de la fuerza,$U=-\int F(x)dx.$Esto tiene ceros arbitrarios y su valor, por sí mismo no tiene ningún significado físico, pero sus cambios sí lo tienen. En 2 y 3 dimensiones, la energía potencial$U$se define mejor como la función tal que para una fuerza dependiente del espacio$\mathbf{F}(\mathbf{r})$, la relación$\mathbf{F}=-\nabla U$sostiene Nuevamente, solo los derivados de la energía potencial tienen significado físico, no la función en sí misma.

Pondré esta pregunta en un contexto más amplio.

(Supongo lo siguiente sobre su pregunta: me parece que está tratando de acomodar la siguiente forma de elevar la energía potencial: una grúa que levanta una masa a una velocidad constante aumenta la energía potencial de esa masa).

Como se anunció, quiero poner esto en un contexto más amplio: en el curso de hacer física, ¿qué se necesita para encontrar una buena definición de un concepto que estamos usando?

El tema de las definiciones en física se discute en profundidad en el libro 'Gravitation', de Misner, Thorne y Wheeler:
Sección 3.1

Aquí y en otras partes de la ciencia [...] esa visión está desactualizada que solía decir: "Define tus términos antes de continuar". Todas las leyes y teorías de la física, incluida la ley de fuerza de Lorentz, tienen este carácter profundo y sutil, que definen los conceptos que utilizan (aquí B y E) y hacen declaraciones sobre estos conceptos. Por el contrario, la ausencia de algún cuerpo de teoría, ley y principio priva a uno de los medios apropiados para definir o incluso usar conceptos. Cualquier paso adelante en el conocimiento humano es verdaderamente creativo en este sentido: que la teoría, el concepto, la ley y el método de medición, siempre inseparables, nacen en el mundo en unión.

Los autores vuelven a este tema en la sección 12.3.

Punto de principio: ¿cómo se pueden escribir primero las leyes de la gravedad y las propiedades del espacio-tiempo en coordenadas galileanas (párrafo 12.1) y solo después (aquí) comprender la naturaleza del sistema de coordenadas y su falta de unicidad? Respuesta: una cita del párrafo 3.1, ligeramente modificada); [...] "Todas las leyes y teorías de la física, incluida la ley de la gravedad de Newton, tienen este carácter profundo y sutil, que definen los conceptos que usan (aquí coordenadas galileanas) y hacen declaraciones sobre estos conceptos".

Para discutir el concepto de Energía primero debo derivar el teorema Trabajo-Energía.

En la teoría del movimiento, las entidades espacio-temporales con las que trabajamos son la posición, la velocidad y la aceleración.

La derivación del teorema del trabajo y la energía se basa en el hecho de que estos tres se encuentran en una relación de cascada entre sí: la velocidad es la derivada temporal de la posición; la aceleración es la derivada temporal de la velocidad.

El punto de partida es la segunda ley de Newton:

El siguiente paso es integrar ambos lados con respecto a la coordenada espacial, integrando desde el punto de partida$s_0$al punto final$s$

Procedemos a trabajar el lado derecho. omito el factor$m$temporalmente, es un factor multiplicativo que simplemente se lleva a cabo en cada paso

Utilice (1) para cambiar el diferencial de$ds$a$dt$. Dado que se cambia el diferencial, los límites cambian en consecuencia.

Cambiar el orden:

Cambio de diferencial según (2), con el correspondiente cambio de límites.

Entonces tenemos:

Multiplicamos ambos lados con$m$, y luego el lado derecho de (9) nos da el lado derecho de (4). El resultado: el teorema Trabajo-Energía:

tenemos eso$F=ma$es una ecuación diferencial que da una relación entre la segunda derivada de la coordenada de posición (aceleración) y la fuerza ejercida. (La fuerza es una función de la coordenada de posición).

(10) sigue expresando$F=ma$, es solo que toda la expresión (tanto el lado izquierdo como el lado derecho) se ha transformado a la integral con respecto a la coordenada de posición. La derivación de este teorema no requiere hipótesis físicas adicionales; todo se logra usando (1) y (2)

Sobre el término$\tfrac{1}{2}mv^2$al lado derecho. De los experimentos de colisión también tenemos una expresión en términos del cuadrado de la velocidad. En colisiones perfectamente elásticas una cantidad que es proporcional a$mv^2$se conserva _ Los experimentos de colisión no reducen esa propiedad proporcional a un valor específico. Cuando se trata únicamente de experimentos de colisión, puede usar cualquier factor de multiplicación delante de$mv^2$, siempre y cuando lo use de manera constante. (Históricamente, este factor de multiplicación se fijó en '1', y la cantidad conservada (en colisiones) se denominó 'la fuerza viva' (vis viva). Es decir: históricamente los físicos se habían decidido por$mv^2$como la expresión de la vis viva.)

(10) especifica el factor de multiplicación:$\tfrac{1}{2}$

(10) muestra que el hecho de que en colisiones elásticas la cantidad$\tfrac{1}{2}mv^2$se conserva se remonta a F=ma.

Hay otra razón muy convincente para convertir F=ma en la integral correspondiente con respecto a la posición.

En el caso general, la física que tiene lugar implica movimiento en las tres dimensiones espaciales. Hacer eso con la ley de movimiento en la forma de F=ma significa que tienes que descomponer el vector de fuerza en componentes del vector de fuerza, y tienes que descomponer el vector de aceleración en componentes del vector de aceleración.

Sea el movimiento en dos dimensiones espaciales.
Con:
$v_x$componente x de la velocidad
$v_y$componente y de la velocidad
$v_\text{resultant}$Velocidad resultante

Teorema de Pitágoras para la composición de velocidades:

es decir: la cantidad$\tfrac{1}{2}mv^2$, siendo proporcional al cuadrado de la velocidad, encaja con el teorema de Pitágoras.

Cuando se expresa la física en términos de energía: la energía cinética resultante es simplemente la suma de las energías cinéticas componentes. Como sabemos, en el cálculo no es necesario definir un vector que dé la dirección de la energía cinética. La información direccional de la velocidad que entra en la energía cinética se puede descartar. La energía cinética se puede tratar como un escalar sin pérdida de poder expresivo.

¿Cómo es posible que podamos permitirnos descartar la información direccional del vector de velocidad? Puede descartarse porque todavía tiene esa información direccional . Se integraron ambos lados de F=ma. La información direccional del vector de fuerza sigue ahí, en forma de gradiente de energía potencial.

Permítanme tomar ahora la siguiente progresión:

Como sabemos: el símbolo$\Delta$se utiliza para el concepto de cantidad de cambio .

El teorema anterior muestra que si la integral$\int_{s_0}^s F \ ds$está bien definida entonces la cantidad de cambio de energía cinética al pasar de$s_0$a$s$será igual al valor de$\int_{s_0}^s F \ ds$.

La igualdad expresada en la matriz anterior presenta una poderosa oportunidad:

Definimos un concepto de energía potencial, definiendo la cantidad de cambio de energía potencial como el negativo del trabajo realizado desde el punto$s_0$apuntar$s$

De (10) se sigue que en los casos en que la integral$\int_{s_0}^s F \ ds$esta bien definida la suma de la energia potencial y la energia cinetica se conserva.

Permítanme discutir ahora la condición que debe cumplirse para que la integral de la fuerza con respecto a la posición esté bien definida.

La gravedad es un ejemplo de una fuerza con la propiedad de que la cantidad de cambio de velocidad que provoca es independiente de la velocidad que ya tiene el objeto acelerado. Esa es en realidad una propiedad bastante notable. A modo de comparación, imagínate empujando, por ejemplo, un carrito de la compra. Puedes acelerar durante un par de segundos, pero para entonces estás en tu velocidad máxima de carrera y físicamente no puedes acelerar más. Tu capacidad para acelerar el carrito de la compra alcanza un punto de saturación muy rápidamente. Pero en el caso de la ley de gravedad universal de Newton no existe tal saturación. Independientemente de si un objeto va rápido o lento, la cantidad de cambio de velocidad al pasar de un potencial a otro es la misma.

¿Qué es la energía potencial?

Una propiedad fundamental de la operación de integración es que el resultado de la integración no tiene un punto cero intrínseco.

Si tiene un punto A y un punto B, lo que se puede definir es la diferencia de potencial entre esos dos puntos. Sólo la diferencia de potencial es físicamente significativa.

En cualquier situación en la que se defina una energía potencial, la elección del punto cero es arbitraria. En el caso de la gravedad, al estar en la ley del cuadrado inverso, es conveniente poner la ubicación de la energía potencial cero en el infinito. No hay una razón inherente para poner el punto cero allí, es simplemente la forma más conveniente de hacerlo.

Un potencial en función de la coordenada de posición no puede considerarse separado de la fuerza en función de la posición que es la fuente de la integral. Dicho esto, no es raro que en las teorías solo se anote la forma de energía potencial.

Trabajo hecho

Históricamente, el nombre del teorema es 'teorema de trabajo-energía'. Este es uno de esos muchos casos peculiares en los que el nombre de algún concepto es bastante inapropiado. Un mejor nombre sería simplemente: 'Teorema de la energía'. Los conceptos esenciales en la derivación son Fuerza y ​​Energía. El trabajo realizado permite cierta eficiencia en la comunicación, es una taquigrafía eficaz, pero no es esencial.

Volviendo a Misner, Thorne, Wheeler: es la naturaleza misma de hacer ciencia que todas las leyes y teorías de la física definan los conceptos que usan y hagan declaraciones sobre estos conceptos.

Si no fuera por el teorema Trabajo-Energía no habría razón para definir los conceptos de energía cinética y energía potencial.

En mecánica clásica, el cambio en la energía potencial$U_{2} - U_{1}$(relativo a un marco de referencia$S$) de un sistema físico que consta de masas puntuales newtonianas$P_{1},P_{2},P_{3},...$debido a una fuerza conservativa interna$\mathbf{F}$trabajando en$P_{k}$en el intervalo de tiempo$[t_{1},t_{2}] \;\,(t_{2}>t_{1})$durante el cual el vector de posición$\mathbf{r}$de$P_{k}$relativo a$S$cambios de$\mathbf{r_{1}}$a$\mathbf{r_{2}}$Se define como:

$U_{2} - U_{1} := -\int_{\mathbf{r_{1}}}^{\mathbf{r_{2}}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$

El RHS es claramente el negativo del trabajo realizado por$\mathbf{F}$en$P_{k}$relativo a$S$durante el intervalo$[t_{1}, t_{2}]$. Uno es libre de elegir una posición arbitraria de$P_{k}$como el punto cero de la energía potencial del sistema debido a$\mathbf{F}$(wrt$S$) y esta posición se toma convencionalmente como infinita. Entonces, su primera definición es correcta, aunque le aconsejaría que use una notación más precisa para mayor claridad.

La primera definición es más fácil:

En el caso de la fuerza gravitacional, tiene el mismo signo negativo que el desplazamiento, por lo que el integrando es positivo. Tomando$V_{\infty} = 0$, el resultado es negativo como debería. En este caso hay un aumento correspondiente de energía cinética.

La segunda definición, como dijiste, es mejor para tratar con el potencial eléctrico, para evitar la aceleración de la carga. En este caso, la fuerza de 'frenado' debe ser siempre igual y con dirección opuesta a la fuerza conservativa. El integrando ahora es negativo, por lo que no hay signo negativo antes de la integral:

Si sumamos ambas integrales, el resultado es cero, lo que es compatible con que no cambie la energía cinética en este caso, porque la fuerza neta es cero.