Debido a la relatividad, ¿la superficie de un púlsar tiene menos área que la capa debajo de él?

Question

Debido a la relatividad, ¿la superficie de un púlsar tiene menos área que la capa debajo de él?

Física
púlsares
estrellas de neutrones
momento angular
relatividad general

Maestro vagabundo

Un púlsar o una estrella de neutrones giratoria puede alcanzar velocidades angulares relativistas. La relatividad especial afirma que los objetos que viajan cerca de la velocidad de la luz se contraen en longitud. Por lo tanto, parece razonable que un objeto que gira rápidamente pueda exhibir una paradoja, en la que la superficie tiene menos área que la capa debajo de ella. Si esto es cierto, ¿podría tener un efecto sobre otros aspectos físicos de dicho objeto (por ejemplo, distribución de densidad de carga, etc.)?

CDCM

Los objetos que giran de forma relativista fueron una de las cosas que llevaron inicialmente a Einstein a pensar en la distorsión del espacio mismo. La relatividad especial trata con marcos de referencia inerciales, que los objetos giratorios no tienen, y para describir un objeto giratorio como ese, es necesario alejarse de una geometría euclidiana normal. Una advertencia: el cuerpo rígido ideal no sobrevive en la relatividad especial. Gran pregunta, espero leer las respuestas de los más informados.

WillO

@CDCM: Creo que está bastante claro que el OP tiene la intención de hacer la pregunta desde el punto de vista de un observador inercial (y, por lo tanto, no giratorio).

AccidentalFourierTransformar

Posible duplicado: geometría euclidiana en marco no inercial . Ver también Un giro electromagnético en la paradoja de Ehrenfest

Mihai B.

Puede encontrar el tratamiento de este problema en el libro de Einstein "Relatividad: la teoría especial y general" en la tapa. 23 "Comportamiento de relojes y varillas de medición en un cuerpo de referencia giratorio"; la respuesta corta es que un reloj en la superficie irá más lento que un reloj cerca del centro. Hay otro efecto descrito en "El significado de la relatividad": "Una partícula material, moviéndose perpendicularmente al eje de rotación dentro de un cuerpo hueco giratorio, se desvía en el sentido de la rotación (campo de Coriolis)". Esto también nos dice que un púlsar/agujero negro giratorio pierde energía...

Mihai B.

Ya que mencionó cargos, eche un vistazo a esta investigación sobre el "Movimiento de espín relativista de electrones en cicloátomos" tratado en el marco de QM relativista osapublishing.org/oe/abstract.cfm?uri=oe-8-2-51

Respuestas (4)

Debido a la relatividad, ¿la superficie de un púlsar tiene menos área que la capa debajo de él?

Los objetos que giran de forma relativista fueron una de las cosas que llevaron inicialmente a Einstein a pensar en la distorsión del espacio mismo. La relatividad especial trata con marcos de referencia inerciales, que los objetos giratorios no tienen, y para describir un objeto giratorio como ese, es necesario alejarse de una geometría euclidiana normal. Una advertencia: el cuerpo rígido ideal no sobrevive en la relatividad especial. Gran pregunta, espero leer las respuestas de los más informados.
@CDCM: Creo que está bastante claro que el OP tiene la intención de hacer la pregunta desde el punto de vista de un observador inercial (y, por lo tanto, no giratorio).
Posible duplicado: geometría euclidiana en marco no inercial . Ver también Un giro electromagnético en la paradoja de Ehrenfest
Puede encontrar el tratamiento de este problema en el libro de Einstein "Relatividad: la teoría especial y general" en la tapa. 23 "Comportamiento de relojes y varillas de medición en un cuerpo de referencia giratorio"; la respuesta corta es que un reloj en la superficie irá más lento que un reloj cerca del centro. Hay otro efecto descrito en "El significado de la relatividad": "Una partícula material, moviéndose perpendicularmente al eje de rotación dentro de un cuerpo hueco giratorio, se desvía en el sentido de la rotación (campo de Coriolis)". Esto también nos dice que un púlsar/agujero negro giratorio pierde energía...
Ya que mencionó cargos, eche un vistazo a esta investigación sobre el "Movimiento de espín relativista de electrones en cicloátomos" tratado en el marco de QM relativista osapublishing.org/oe/abstract.cfm?uri=oe-8-2-51

Vacío · Answer 1

Permítanme responder completamente solo la parte que se puede hacer con lápiz y papel: si tenemos una familia de observadores que giran rígidamente en un espacio-tiempo plano, ¿disminuirá alguna vez la circunferencia medida con respecto a la distancia desde el eje de rotación? Como veremos, la respuesta es sí, al menos desde el punto de vista de los observadores giratorios.

Debido a que estamos tratando con observadores acelerados y, por lo tanto, desde el punto de vista de los observadores, espacio-tiempo curvo, usaré el formalismo de tétrada . Las tétradas no son más que pequeños marcos de coordenadas locales muy en el espíritu de la relatividad especial. La idea principal es tener el eje del tiempo, que coincide con el observador de cuatro velocidades. $u^\mu$ y luego construya tres "ejes de coordenadas infinitesimales" que son 1) ortogonales en el espacio-tiempo al eje del tiempo, y 2) ortogonales entre sí. La longitud de estos vectores nos dice las longitudes físicas de las líneas, como la circunferencia.

Circunferencia corrotatoria

Comencemos, el espacio-tiempo plano en coordenadas cilíndricas se ve así

d s^{2} = - d t^{2} + ρ^{2} d ϕ^{2} + d ρ^{2} + d z^{2}

$ds^2 = -dt^2 + \rho^2 d \phi^2 + d\rho^2 + dz^2$ Los observadores que giran rígidamente se mueven con una velocidad angular coordinada

Ω = d ϕ / d t

$\Omega = d\phi/dt$ lo que les da una velocidad de cuatro

u^{μ} = N (1, Ω, 0, 0)

$u^\mu = N(1,\Omega,0,0)$ , dónde

N

$N$ es un factor de normalización igual a

N = 1 / \sqrt{1 - Ω^{2} ρ^{2}}

$N = 1/\sqrt{1-\Omega^2 \rho^2}$ . El punto donde

Ω ρ = 1

$\Omega \rho = 1$ es donde la rotación rígida obliga a los observadores a moverse a la velocidad de la luz y por tanto la rotación rígida debe cesar necesariamente. (Yo suelo

c = 1

$c=1$ unidades.) Nos interesarán las regiones debajo de eso.

Ahora construyamos la tétrada. Naturalmente, dos ejes están apuntando en el $\rho,z$ dirección y no ver ninguna deformación. El que está en la dirección phi, sin embargo, verá un sesgo y una contracción. es de la forma $e_{(\phi)}^\mu = (e_{(\phi)}^t, e_{(\phi)}^\phi,0,0)$ . De la condición de ortogonalidad a $u^\mu$ obtenemos

- {mi}_{(ϕ)}^{t} {tu}^{t} + ρ^{2} {mi}_{(ϕ)}^{ϕ} {tu}^{ϕ} = 0

$-e_{(\phi)}^t u^t + \rho^2 e_{(\phi)}^\phi u^\phi = 0$

\to {mi}_{(ϕ)}^{t} = ρ^{2} {mi}_{(ϕ)}^{ϕ} Ω

$\to e_{(\phi)}^t = \rho^2 e_{(\phi)}^\phi \Omega$ Ahora tenemos un número indeterminado que es

e_{(ϕ)}^{ϕ}

$e_{(\phi)}^\phi$ . Nos deshacemos de él requiriendo que el eje de coordenadas se normalice a uno:

{mi}_{(ϕ)}^{ϕ} = ρ \sqrt{1 - ρ^{2} Ω^{2}}

$e_{(\phi)}^\phi = \rho \sqrt{1 - \rho^2 \Omega^2}$ Ahora hemos construido los ejes infinitesimales locales, pero necesitamos especificar el proceso de medición realizado por los observadores para obtener la circunferencia.

Digamos que un miembro entre un anillo de observadores en un $\rho, z$ tiene una cuerda y comienza a pasársela a los demás en el ring. Mientras se pasa la cuerda, mide lo que se ha consumido. Una vez que la cuerda da la vuelta al lazo y regresa a ella, postula la longitud necesaria para encerrar el lazo como la circunferencia. Esta circunferencia será

C_{r o pags mi} = \int_{0}^{2 π} {mi}_{(ϕ)}^{ϕ} d ϕ = 2 π ρ \sqrt{1 - ρ^{2} Ω^{2}}

$C_{rope} = \int_0^{2\pi} e_{(\phi)}^\phi d\phi = 2 \pi \rho \sqrt{1-\rho^2 \Omega^2}$ Si tuviera que construir esta circunferencia mediante un argumento relativista especial de contracción de longitud más ingenuo, obtendría el mismo resultado.

2 π ρ

$2 \pi \rho$ es solo el radio habitual

ρ Ω

$\rho \Omega$ es la velocidad lineal en el marco del laboratorio, y

\sqrt{1 - ρ^{2} Ω^{2}}

$\sqrt{1 - \rho^2 \Omega^2}$ es simplemente el factor de contracción de longitud

\sqrt{1 - v^{2}}

$\sqrt{1 - v^2}$ .

Vemos que por ejemplo en $\Omega \rho = 1$ esta circunferencia es cero, por lo que hay un punto de quiebre, donde cuanto mayor sea $\rho$ definitivamente significa circunferencias más pequeñas. Podemos encontrar este punto por $dC/d\rho = 0$ como

ρ Ω = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.71

$\rho \Omega = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.71$ Este es un resultado interesante: las circunferencias dejarán de crecer y comenzarán a encogerse cuando la rotación rígida lo obligue a subir.

71 %

$71 \%$ de la velocidad de la luz!

Área de superficie corrotante

Si desea calcular la superficie , las cosas se vuelven un poco más arbitrarias porque primero debe responder la pregunta de cómo se define la superficie en un sentido independiente de las coordenadas. Si solo usamos una definición de coordenadas con $R = \sqrt{\rho^2 + z^2}$ constante y cambiamos a coordenadas esféricas, obtenemos un área de superficie definida de manera similar a la circunferencia anterior como

S (R) = 2 π R^{2} \int_{0}^{π} pecado ϑ \sqrt{1 - Ω^{2} R^{2} {pecado}^{2} ϑ} d ϑ

$S(R) = 2\pi R^2 \int_0^\pi \sin \vartheta\sqrt{1 - \Omega^2 R^2 \sin^2\vartheta} d\vartheta$ Lo cual, con un poco de ayuda de Mathematica produce una función que también tiene un punto de inflexión en algún lugar en

1 > Ω R > 0.9

$1>\Omega R > 0.9$ . Es decir, estas superficies también dejarán de crecer en un punto determinado. Sin embargo, se debe recordar que la parte de las superficies en el eje gira con una velocidad lineal pequeña y, por lo tanto, tiene una contracción insignificante en este sentido; es principalmente la reducción de la circunferencia alrededor del ecuador lo que provoca la detención del crecimiento de la superficie.

Entonces, estrictamente en el sentido de las mediciones realizadas por los observadores que giran en la misma dirección que la materia del púlsar, este tipo de geometría de "reducción de la superficie" es muy posible. Por otro lado, si una familia de observadores estáticos en el mismo punto hace mediciones análogas con una cuerda, obtendrán simplemente una circunferencia y un área correspondientes a las habituales $2 \pi \rho$ y $4 \pi R^2$ fórmulas

púlsares astrofísicos

Ahora para la física real. Los púlsares de milisegundos, las estrellas de neutrones conocidas que giran más rápido, giran una vez cada milisegundo y se estima que tienen un radio de aproximadamente $10 km$ . Esto nos da una estimación de la velocidad lineal en la superficie como $\sim 10 000 km/s$ . Pero esto nos da $v/c \sim 0.03$ que es un orden más pequeño que la "reducción de la circunferencia" crítica $v/c \sim 0.71$ que hemos calculado en espacio-tiempo plano. Entonces, en los púlsares sabemos que esto definitivamente no sucede.

La pregunta es si los púlsares donde esto sucede podrían observarse en el futuro. La respuesta es que probablemente no. Primero, la alta rotación se relaja rápidamente por la radiación mediada por el campo magnético de la estrella de neutrones (esta radiación es el "pulso" en el "púlsar"). En segundo lugar, incluso si no hay un campo magnético presente, $v/c \sim 0.7$ en la superficie está muy probablemente por encima del límite de desprendimiento de masa de la estrella de neutrones, donde la fuerza gravitacional no puede trabajar contra la fuerza centrífuga y la materia se va volando.

Por otro lado, al nivel de los principios básicos, no parece haber nada que nos impida construir una estrella que gire a tal velocidad que esta "geometría corrotante" exhiba este comportamiento exótico.

Algunas especulaciones sobre los efectos físicos asociados

Las propiedades de la geometría corrotante no parecen tener necesariamente ningún efecto directo sobre las propiedades de observación del púlsar. Esto se debe a que las propiedades observacionales se definen con respecto a los observadores en reposo en el infinito en lugar de los observadores corrotantes. Por ejemplo, la masa invariable del púlsar se define proyectando el tensor de energía de tensión en el vector Killing similar al tiempo , que es simplemente la dirección temporal de los observadores en el infinito, e integrándose en el espacio. La carga del púlsar es medida por observadores externos de manera similar, por lo que tampoco hay conexión entre el comportamiento de la carga observada y el comportamiento especial de la geometría corrotante.

Sin embargo, la geometría corrotatoria es importante para la dinámica local de la materia púlsar. Por ejemplo, el hecho de que un elemento fluido (idealmente forzado a permanecer en corrotación por varios efectos físicos) pueda viajar lentamente "hacia arriba", lejos de la estrella, y termine contrayéndose en una circunferencia más pequeña en lugar de expandirse significa que nuestras intuiciones lindan con la convección. se romperá la estabilidad. En última instancia, esto puede llevar a la conclusión de que la "contracción de la circunferencia corrotatoria" no es consistente con una estrella estable por convección.

Otro efecto interesante podría surgir durante algunas pulsaciones de "respiración" de las estrellas de neutrones, que son pulsaciones que contraen o expanden los radios en los que se mueven los elementos fluidos. Un efecto típico de la contracción de cualquier estrella es el crecimiento de los campos magnéticos debido a la conservación del flujo magnético y al hecho de que los campos magnéticos se congelan efectivamente en los elementos fluidos (y por lo tanto la geometría corrotante es la relevante para nuestra discusión). ). Sin embargo, si recortamos una superficie en el plano ecuatorial entre dos radios $\rho_1$ y $\rho_2$ por encima del punto crítico de "reducción de la circunferencia", luego presionando los elementos fluidos de $\rho_1,\rho_2$ a más pequeño $\rho$ genéricamente aumentará en lugar de disminuir el área de superficie encerrada entre ellos. ¡Para satisfacer la conservación del flujo, los campos magnéticos tienen que disminuir entre ellos! En otras palabras, la propiedad de contracción de la circunferencia debería conducir genéricamente a un comportamiento contrario a la intuición de los campos magnéticos.

El estudio de estrellas de neutrones de alta rotación es imposible analíticamente y tampoco es trivial numéricamente. Dado que generalmente observamos púlsares en rotaciones bastante pequeñas (en comparación con escalas relativistas), solo un puñado de grupos de investigación actualmente invierte tiempo y esfuerzo en el modelado realista de estrellas de neutrones de alta rotación. Esto significa que, al menos que yo sepa, no hay ejemplos concretos en los que se investigue y documente una conexión entre estas propiedades de la geometría corrotante y los efectos físicos asociados. (Pero creo que sería un gran tema para una tesis de maestría o incluso parte de una disertación si alguien está interesado :))

Realicé algunas ediciones en su respuesta para aclarar algunas declaraciones, pero en general, creo que es una buena respuesta. Al calcular el escenario de anillo simplificado, menciona que "[i] si tuviera que construir esta circunferencia mediante un argumento relativista especial de contracción de longitud más ingenuo, obtendría el mismo resultado". ¿Por qué encontraría este método particularmente 'ingenuo', ya que parece ser un enfoque lógico? Esperaré hasta que termine el período de recompensas para otorgar esta respuesta, en caso de que no aparezca una mejor. ¡Gracias!
@MasterDrifter Gracias por las ediciones. La relatividad especial, la teoría de las transformaciones entre marcos que se mueven uniformemente, en realidad no te informa sobre las deformaciones de los objetos que se aceleran y se mueven con una velocidad diferente de un punto a otro. Fácilmente podría decir "la velocidad es $\rho \Omega$ y así la circunferencia se contraerá por $\sqrt{1 - \Omega^2 \rho^2}$ como sabemos por la relatividad especial", y funcionaría como un argumento simple. Pero quería asegurarme de que queda claro cuál es la medida de la circunferencia en un sentido operativo.
Su respuesta hizo un gran trabajo al explicar cómo abordar el problema y demostrar que los púlsares probablemente no pueden exhibir una geometría física tan paradójica. Sin embargo, todavía estoy interesado en saber si tal geometría podría existir o no y, de ser así, qué efecto podría tener en las otras propiedades mencionadas en el OP.
@MasterDrifter Bueno, en principio, realmente no hay nada que restrinja la existencia de tal geometría corrotante, pero las consecuencias físicas son esencialmente imposibles de calcular a mano y nadie ha trabajado en esto hasta ahora. Hice una edición que hace algunas propuestas sobre lo que podría suceder, pero esta es esencialmente una pregunta de investigación abierta y no creo que nadie pueda darle una respuesta más precisa en este momento.
A pesar de la etiqueta de intercambio de pilas, me gustaría decir "¡Muchas gracias!"

parker · Answer 2

La aparente paradoja que mencionas se conoce como paradoja de Ehrenfest , aunque lamentablemente no creo que el artículo de Wikipedia lo explique muy bien. La paradoja de Ehrenfest fue históricamente importante para el desarrollo de la relatividad general, aunque resolverla en realidad no requiere ningún GR.

La respuesta corta es que un observador inercial no ve el área de la superficie de un sólido en rotación relativista como menor que cuando no está girando. Para entender esto, tenga en cuenta que la noción de un "sólido" extendido no está bien definida en la relatividad especial, porque las señales no pueden viajar más rápido que la velocidad de la luz, por lo que cualquier fuerza aplicada en un punto del sólido necesariamente deformará el sólido, al menos hasta que la información sobre la fuerza haya tenido tiempo de atravesar todo el sólido para que pueda recuperar su forma. Si comenzara con la esfera en reposo y luego aplicara un par de torsión uniforme en todas partes al mismo tiempo que la hace girar, entonces un observador que se desplazara por la superficie percibiría que el par de torsión se aplica a diferentes velocidades .veces, de tal manera que hace que el área de la superficie adecuada se estire por un factor de $\gamma$ . De vuelta en el marco de inercia, la contracción de Lorentz cancela exactamente este efecto de estiramiento y restaura el área de la superficie a su valor no giratorio. Consulte la respuesta a mi pregunta anterior para obtener más información.

jamey mcpherson · Answer 3

Me pregunto si la luz producida por un púlsar en realidad escapa de los polos de su rotación más rápida. Eso significaría que el púlsar de milisegundos es el más lento de dos rotaciones. La presión generada por la contracción de Lorentz sobre su ecuador de rotación más rápida podría ser lo que está convirtiendo su masa en la luz que vemos emitida mientras gira más lentamente a lo largo de otro acceso.

Guill · Answer 4

Guill

Según tengo entendido, la relatividad se aplica entre dos marcos de referencia en movimiento. Por lo tanto, si miro un disco desde el eje z, veré un círculo cuyo diámetro no cambiará (no se acercará ni se alejará de mí). Si miro el disco desde el eje X (o Y), veré una línea, cuya longitud no cambiará (por la misma razón anterior).
Los resultados son los mismos, incluso si el disco está girando a $wr = c$

Maestro vagabundo

Creo que hay un error en tu argumento. Visto desde el eje z, un disco perfectamente circular puede parecer que no se mueve, pero de hecho cada componente infinitesimal del disco se mueve con respecto a tu posición, en su dirección tangencial. Considere el elemento diferencial de la circunferencia.

d l = r d ϕ

$dl=r d \phi$ , moviéndose a velocidades angulares relativistas en una órbita circular de radio

r

$r$ , como se ve desde la perspectiva del eje z. Está obligado a considerar los efectos de la contracción de la longitud en esta pequeña longitud. La velocidad tangencial

v = r \frac{d ϕ}{d t}

$v=r \frac{d\phi}{dt}$ asegura una duración contratada

\frac{d l}{γ}

$\frac{dl}{\gamma}$ .

Maestro vagabundo

Se puede hacer un argumento similar para el marco de referencia de los ejes x e y.

Debido a la relatividad, ¿la superficie de un púlsar tiene menos área que la capa debajo de él?

Maestro vagabundo

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WillO

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Mihai B.

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MannyC

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