¿Debe la acción ser un escalar de Lorentz?

Primero, observe que aunque el Lagrangiano no relativista no es invariante. Cambia por una derivada total, por lo que las ecuaciones de movimiento permanecen invariantes. La razón de la diferencia entre el caso lorentziano y el galileano es que la acción grupal del grupo de Lorentz sobre las variables clásicas (posiciones y momentos) es a través de una representación verdadera, mientras que en el caso del grupo galileano la representación es descriptivo. En el lenguaje de la cuantización geométrica,$exp(i \frac{S}{\hbar})$, dónde$S$es la acción es una sección en$L \otimes \bar{L}$, dónde$L$es el paquete de líneas de precuantificación y$\bar{L}$es dual. En otras palabras, la acción no necesita ser un escalar, solo una expresión de la forma:$\bar{\psi}(t_2)exp(i \frac{S(t_1, t_2)}{\hbar})\psi(t_1)$, dónde$\psi(t)$es la función de onda en el tiempo$t$y$S(t_1, t_2)$es la acción clásica entre$t_1$y$t_2$. La razón por la que la representación en el caso de Galileo es proyectiva está relacionada con la no trivialidad del grupo de cohomología.$H^2(G, U(1))$en el caso de Galileo en contraste con el caso de Lorentz. He dado una respuesta más detallada sobre un tema muy similar en mi respuesta a Anirbit: Poincare group vs Galilean group y en los comentarios que contiene.

Sí, debe hacerlo. No garantiza que las ecuaciones tengan soluciones físicas exactas pero al menos todo parece relativista.

El punto clave señalado por Jackson aquí es que el Lagrangiano es físicamente significativo ya que determina las ecuaciones de movimiento; a través de la condición extrema tal como sucede.

En primer lugar, la integral de acción se toma a lo largo de un camino que es un invariante de Lorentz. En segundo lugar, dado que el Lagrangiano es físicamente significativo, entonces también debería mapear el mismo dominio al mismo número real del primer postulado de la Relatividad Especial. Entonces se deduce que la integral de acción tiene que ser un escalar de Lorentz.