¿De qué manera la masa y la energía de la Vía Láctea curvan el espacio-tiempo?

En resumen, no por mucho.

Fuera de nosotros, la Tierra, la aceleración gravitatoria hacia el centro de la galaxia es$v^2/r = \frac{(2\times2\times 10^{20}\times \pi\ \mathrm{metres} / 230000000\ \mathrm{years})^2 }{ 2\times 10^{20} \mathrm{metres}}$, que es del orden de$10^{-10} ms^{-2}$: en otras palabras, es muy pequeño. Esto se debe a que el espacio-tiempo no es muy curvo excepto cerca de cuerpos masivos.

Este espacio-tiempo es aproximadamente plano. Se puede aproximar bien por el espacio de Minkowski. Si necesita incluir en su modelo la distribución de masa en la galaxia, entonces la mecánica newtoniana es suficiente, por ejemplo https://physics.stackexchange.com/questions/62637/the-potential-and-the-intensity-of- el-campo-gravitacional-en-el-eje-de-un-circulo

En el centro de la galaxia hay un agujero negro, y es en la vecindad del agujero negro donde GR realmente entra en juego. Cerca del agujero negro, la solución de Kerr de GR es un buen modelo (la solución de Kerr describe una masa giratoria sin carga simétrica)

Ahora, en la escala masiva, una galaxia o un cúmulo de galaxias puede tener un efecto significativo en la luz, dado el tiempo suficiente y la distancia suficiente. La luz, que viaja durante muchos millones de años, más allá de una galaxia, puede tener su camino significativamente desviado por la gravedad. (La solución de Schwartzchild es una primera aproximación a la forma del espacio-tiempo alrededor de una galaxia, aunque para una mejor aproximación, se puede usar la relatividad numérica). Esto provoca lentes gravitacionales. Para la luz que viaja dentro de una galaxia, este no es un factor significativo. No hay tiempo en unos pocos años para que la luz se desvíe significativamente por el campo gravitacional general de la galaxia. Sin embargo, la luz de una estrella pasa cerca de otra estrella, entonces puede haber una flexión medible.

La medición de la curvatura de la luz de las estrellas detrás del sol durante un eclipse solar fue una de las primeras confirmaciones experimentales de la Relatividad General (1919) https://www.wired.com/2009/05/dayintech_0529/ Tenga en cuenta que incluso la luz que pasa justo sobre la superficie del Sol solo se desviaría menos de 2 segundos de arco.