¿Cuál es la diferencia de tiempo relativa entre nosotros y un sistema estelar en la capa exterior de nuestra galaxia?

Su tercera pregunta tiene una respuesta muy conocida aquí :

Es decir, que aunque tenía que existir una gran diferencia horaria, la hay mucho menor, y en sentido contrario. Esto se considera el efecto de la materia oscura.

Nuestro Sol está a unos 30000 al del centro galáctico, el borde de la galaxia está a unos 50000 al, por lo que podemos leer en el diagrama que la diferencia de velocidad real es de unos 15 km/s, que es 1/20000 de la velocidad de ligero. Esto provoca una dilatación del tiempo (no muy grande) debido a la relatividad especial.

Hay otra fuente de la dilatación del tiempo , que es causada por la gravedad de la galaxia, que difiere en el caso de nosotros y en el caso de alguien que vive en el borde exterior. De una gravitación tan débil (es decir, de cualquier agujero negro, estrella de neutrones, etc.) depende prácticamente de la aceleración gravitatoria newtoniana.

Pero esta aceleración es muy pequeña: ¡se necesita medio año galáctico (algunos cientos de millones de años) para revertir la velocidad orbital del Sol alrededor del núcleo galáctico! Entonces, podemos considerar que en realidad es insignificante.

Por tanto, sólo queda el efecto relativista especial. 15 km/s es alrededor de 1/20000 de la velocidad de la luz. En casos de velocidades que son mucho más pequeñas que la velocidad de la luz, podemos usar la fórmula de dilatación de velocidad 1/(2*(v/c)^2). Sustituyendo 1/20000 en esta fórmula, obtenemos 1:800 000 000.

Para los profanos, podemos decir que los relojes de estas personas que viven en el borde exterior de nuestra galaxia tardan alrededor de 25 años en dilatarse 1 segundo.

En el régimen de campo débil que cambia lentamente, los efectos de la relatividad general se pueden aproximar mediante la siguiente métrica (en unidades de$c=1$):

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1+2\Phi\right)\mathrm{d}t^2 + \left(1-2\Phi\right)\mathrm{d}S^2\text{,}$$ donde $\mathrm{d}S^2$es la métrica es euclidiana $3$-espacio y $\Phi$es el potencial gravitatorio newtoniano. Por lo tanto, la tasa de tiempo propio vs tiempo coordinado es $$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} = \sqrt{1+2\Phi-\left(1-2\Phi\right)\frac{\mathrm{d}S^2}{\mathrm{d}t^2}} = 1+\Phi - \frac{1}{2}v^2 + \mathcal{O}(v^4,\Phi^2,v^2\Phi)\text{.}$$ A velocidades bajas, podemos descartar los términos de orden superior para inferir que una dilatación de tiempo relativa entre dos estrellas es $$\frac{\mathrm{d}\tau_1}{\mathrm{d}\tau_0} \approx \frac{1+\Phi_1-v_1^2/2}{1+\Phi_0-v_0^2/2} \approx 1+(\Phi_1 - \Phi_0) - \frac{1}{2}(v_1^2-v_0^2)\text{.}$$ El potencial gravitacional de la Vía Láctea se puede modelar como la suma de una protuberancia esféricamente simétrica, un disco axisimétrico y un halo de materia oscura esféricamente simétrica. Existen muchos modelos galácticos, pero por simplicidad usaré los de Irrgang et al. [arXiv: 1211.4353 ] para el Sol:

1. Modelo I (según Allen & Santillán (1991)):$v_0 = 8.072\times 10^{-4}$,$\Phi_0 = -2.113\times 10^{-6}$.
2. Modelo II (según Wilkinson & Evans (1999) y Sakamoto et al. (2003)):$v_0 = 8.019\times 10^{-4}$,$\Phi_0 = -1.845\times 10^{-6}$.
3. Modelo III (según Navarro et al. (1997)):$v_0 = 7.996\times 10^{-4}$,$\Phi_0 = -3.664\times 10^{-6}$.

Debido a que la contribución dependiente de la velocidad se eleva al cuadrado mientras que la contribución potencial no lo es, la dilatación del tiempo gravitacional podría ser más significativa. Tenga en cuenta que esto no incluye la contribución del propio Sol, cuya vecindad será más significativa. Sin embargo, si estamos comparando la dilatación del tiempo para observadores cerca de estrellas similares en órbitas similares a sus estrellas, esa diferencia se cancelará.

Desafortunadamente, el potencial gravitatorio depende bastante del modelo debido a las muchas incertidumbres involucradas en las observaciones, pero puede jugar con algunos de los valores dados en ese documento si lo desea.

No está muy claro lo que estás pidiendo. No hay una "diferencia de tiempo relativa" entre cualquier lugar y otro lugar del universo. Hay, por supuesto, diferencias de tiempo entre diferentes eventos (puntos de espacio-tiempo).

El movimiento de las estrellas en la galaxia de la Vía Láctea (o cualquier otra) es subrelativista, lo que implica que los efectos GR (como la dilatación del tiempo) son insignificantes. Por supuesto, la galaxia es bastante grande y se necesita mucho más tiempo que la vida humana para que la luz, y mucho menos para las naves espaciales, viaje a través de ella.