¿De dónde viene la ecuación adicional para determinar las fuerzas de un objeto sobre una mesa?

Tengo una pregunta sobre estática básica, pero de alguna manera no puedo encontrar la respuesta por mi cuenta (por cierto, esto no es una tarea. Han pasado tantos años desde la escuela para mí...).

El problema es muy simple: tenemos un objeto con peso D en un lugar dado en la mesa con cuatro patas ( F 1 a F 4 ). ¿Cuál es la fuerza aplicada en cada pierna? (para simplificar, solo estoy usando las mismas etiquetas F y D tanto para la ubicación como para la fuerza)

objeto sobre una mesa

W , H , X , y y D son dados. Para encontrar las fuerzas en cada pierna, por lo que recuerdo, tengo que considerar dos ecuaciones generales: ∑ F = 0 y ∑ METRO = 0 . Así que tengo:

F 1 + F 2 + F 3 + F 4 − D = 0

Además, considerando los momentos alrededor del punto F 1 :

W ( F 2 + F 3 ) − X D = 0
H ( F 3 + F 4 ) − y D = 0

¡Pero esto solo me da 3 ecuaciones! Me falta una ecuación más y no puedo resolverla.

Hola Shapul. Bienvenido a Phys.SE. Si aún no lo ha hecho, tómese un minuto para leer la definición de cuándo usar la etiqueta de tarea y la política de Phys.SE para problemas similares a la tarea. Tenga en cuenta en particular que la etiqueta de tarea puede aplicarse incluso si no es tarea real .
Gracias Qmecánico. Esto no es una tarea y no soy un estudiante. Busqué en el sitio y en la web y no pude encontrar la respuesta a mi pregunta. Lo admito, esta es probablemente una pregunta muy simple, pero desafortunadamente después de pasar horas para resolverlo, todavía estoy atascado. Así que por eso me di cuenta de que alguien aquí podría ayudarme.
Bien, acabo de agregar una etiqueta de tarea, ya que estoy seguro de que esta es una pregunta similar a la tarea.
Probablemente lo sea, pero es una buena pregunta porque estás preguntando sobre el concepto específico que te confunde, no pidiendo una respuesta a la pregunta. :-)

Respuestas (3)

Como usted mismo ha notado, su sistema simplemente está subdeterminado. Para encontrar una solución única, debe agregar algunas restricciones adicionales además de las ecuaciones de Newton. Imagina una mesa con más de cuatro patas: cuantas más patas añades, más fuerzas desconocidas tienes. Pero el número de ecuaciones no cambia. Si, en cambio, eliminamos una pata, encontramos una solución estática única.

Véase también la página de Wikipedia sobre sistemas estáticamente indeterminados .

Ah, claro. ¡Estaba tan seguro de que había cometido un error que ni siquiera pensé en eso! Ahora, tengo una idea: creo que podría tratar de agregar algo de grosor a la mesa, resolverlo en 3D (luego aplicaremos algunas fuerzas de corte a cada pata) y luego tratar de ver qué sucede si el grosor se vuelve más y más pequeño... ¿Algún comentario sobre ese enfoque?
No creo que agregar grosor a la mesa ayude. Todas las fuerzas son paralelas al tercer eje, por lo que el momento correspondiente será cero.
Ah, ya veo. Tienes razón. No haría la diferencia. dmckee sugirió un enfoque de deformación finita. ¡Busqué en Google tensión finita infinitesimal y lo que encontré me dio dolor de cabeza!
Gracias Olof. Has sido de gran ayuda. Usted dio la respuesta "correcta", pero Olin resolvió el caso muy específico que se indicó en la pregunta. Desearía poder aceptar dos respuestas.

La respuesta simple es que no puede resolver completamente este problema, porque, como nota, está sub-restringido, bajo las suposiciones que se hacen cuando comienza a hacer estática (que los objetos son completamente rígidos).

La introducción de deformaciones finitas trae relaciones adicionales.

¡Gracias! ¿Cómo puedo aprender más sobre una solución sin asumir un cuerpo completamente rígido? ¿Hay algún libro de texto/sitio con un ejemplo resuelto para un problema similar a este?
Nunca estudié esta clase de problemas en detalle, por lo que dudo en ofrecer una receta. Si está tomando una clase de ingeniería estática, verá algunos tratamientos de deformación finita más adelante en la clase.

Esto parece un simple problema de mezcla lineal. Es bidimensional, pero cada dimensión se puede considerar de forma independiente.

Cuanto más a la derecha esté el peso, mayor será la fracción que lleven F2 y F3. Básicamente, la fracción del peso que llevan F2 y F3 es X/W. Dicho más matemáticamente:

   (F2 + F3) / (F1 + F2 + F3 + F4) = X / W

Lo mismo se puede hacer para la dirección Y.

Esto te da 0-1 fracciones para izquierda/derecha y arriba/abajo, con izquierda = 1-derecha, etc. Ahora multiplica las fracciones debido al equilibrio X e Y para cada pierna. Por ejemplo, F3 = (X/W)(Y/H). Puede anotar las fracciones generales 0-1 para cada pierna como esta de la inspección. Luego, para obtener la fuerza real en lugar de la fracción del total, multiplique cada uno por el peso total, que parece llamar D. Por lo tanto, F3 = D(X/W)(Y/h), y la fórmula para el otro piernas sigue de manera similar usando la regla 1-.

Idea interesante. Gracias. Lo probaré. ¿Pero es esto exacto? Quiero decir, ¿de dónde vino la "mezcla lineal"? Los términos de segundo orden ponen un poco nervioso. Además, como dijo Olof, ¿y si tenemos 5 patas? Aún así, para este problema específico, su solución podría dar un buen resultado aproximado.
@Shapul: la combinación lineal de la inspección solo funciona en este caso específico de patas en la esquina de un rectángulo porque eso las hace muy independientes entre ejes. En realidad, puedes usar este concepto en un paralelogramo, ya que es solo un rectángulo sesgado. Básicamente resuelves el caso rectangular y transformas. Este método no funciona con 5 patas. Ese es un sistema con restricciones insuficientes que debe tener en cuenta la deformación de la mesa.
¡Muy agradable! Así que este es solo un caso de esquina con una solución muy específica. De lo contrario, necesito mirar las soluciones de deformación finita.
Voy a aceptar tu respuesta, aunque esto solo resuelve un caso muy específico del problema. Pero al final del día, ¡es lo que se preguntó en la pregunta! Ahora tengo que leer esas ecuaciones tensoriales para la solución general...
Esta respuesta dará buenos resultados. Los equipos de carreras de autos lo usan todo el tiempo para estimar el peso que soporta cada neumático.
¿De dónde viene la ecuación adicional para determinar las fuerzas de un objeto sobre una mesa?
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