Bloques apilados en una pendiente conectados por cuerda alrededor de la polea

Question

Bloques apilados en una pendiente conectados por cuerda alrededor de la polea

bdforbes

ingrese la descripción de la imagen aquí

Dos objetos A y B, de 5 kg y 20 kg de masa respectivamente, están conectados por una cuerda sin masa que pasa sobre una polea sin fricción en la parte superior de un plano inclinado, como se muestra en la figura. El coeficiente de fricción estática es mu_s = 0.4 entre todas las superficies (a) ¿A qué ángulo $\theta$ ¿El plano debe estar inclinado para que comience el deslizamiento? (b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda y cuáles son las magnitudes de las fuerzas de fricción en esta inclinación crítica? (c) En un ángulo de inclinación de 15 $^\circ$ , ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (d) En un ángulo de inclinación de 35 $^\circ$ , ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

Pude resolver (a) y (b) dibujando un diagrama de cuerpo libre como se muestra:

ingrese la descripción de la imagen aquí

La Segunda Ley de Newton, que establece todas las aceleraciones en cero, implica las siguientes relaciones:

$N_A = m_A g \cos(\theta)$

$T = m_A g \sin(\theta) + f_2$

$N_B = (m_B + m_A) g \cos(\theta)$

$T + f_1 + f_2 = m_B g \sin(\theta)$

La segunda ecuación se puede sustituir en la cuarta ecuación para dar

F_{1} + 2 F_{2} = ({metro}_{B} - {metro}_{A}) gramo pecado (θ) (1)

$\begin{equation} f_1 + 2f_2 = (m_B - m_A) g \sin(\theta) \;\;\;\; (1) \label{eq:1} \end{equation}$

Ajuste de las fuerzas de fricción a sus valores máximos $f_{1,{\rm max}} = \mu_s N_B = \mu_s (m_B + m_A) g \cos(\theta)$ y $f_{2,{\rm max}} = \mu_s N_A = \mu_s m_A g \cos(\theta)$ permite resolver estas ecuaciones para $\theta = 43^\circ$ , $f_2 = 14.33$ NORTE, $f_1 = 71.64$ N y $T = 47.76$ NORTE.

Sin embargo, estoy un poco confundido acerca de las partes (c) y (d) que tratan con ángulos por debajo de 43 $^\circ$ .

Tengo 5 incógnitas: tensión, dos fuerzas normales y dos fuerzas de fricción, pero solo cuatro restricciones de la Segunda Ley de Newton. De manera equivalente, en referencia a la Ec. (1), la fuerza neta aplicada a la que debe oponerse la fricción estática es fija, por lo que $f_1+2f_2$ se conoce, pero no hay ninguna restricción adicional para determinar cuánto $f_1$ se opone y cuanto $f_2$ se opone Parece haber un grado de libertad en cómo $f_1$ y $f_2$ están determinados, es decir, un parámetro libre.

Mi intento hasta ahora en esto es suponer que para pendientes muy pequeñas podríamos esperar que la fricción mantuviera los bloques estacionarios y, por lo tanto, la cuerda estaría floja y la tensión $T$ se elimina de las ecuaciones. En este caso, el diagrama de cuerpo libre se dibujaría de manera diferente, porque sin la cuerda, la tendencia es que el bloque A se deslice hacia abajo a través del bloque B:

ingrese la descripción de la imagen aquí

La inclinación máxima bajo estas condiciones se encuentra equilibrando las fuerzas:

$m_A g \sin(\theta) = f_2 \le \mu_s m_A g \cos(\theta)$
$\Rightarrow \tan(\theta) \le \mu = 0.4$
$\Rightarrow \theta \le 21.8^\circ$

Cuando la pendiente aumenta por encima $21.8^\circ$ , estoy confundido acerca de lo que sucederá. Los bloques se deslizarían cuesta abajo, pero la cuerda se tensaría y, de repente, la tendencia del sistema sería que el bloque B, más pesado, acelerara cuesta abajo, y el bloque A, más ligero, acelerara cuesta arriba (porque el bloque B tira de él ) . a través de la cuerda), lo que resulta en un diagrama de cuerpo libre como en mi figura original. Todavía no entiendo cómo calcular la tensión y las dos fuerzas de fricción en este caso.

como determino la tension $T$ y fuerzas de fricción $f_1$ y $f_2$ para ángulos de inclinación entre $21.8^\circ$ y $43^\circ$ ? Para estas inclinaciones, no parece haber suficientes restricciones para determinar cada cantidad, ver por ejemplo Eq. (1). ¿Hay alguna restricción adicional en la que no haya pensado, o tal vez dibujé incorrectamente mi diagrama de cuerpo libre?

Respuestas (4)

Bloques apilados en una pendiente conectados por cuerda alrededor de la polea

malvado999hombre · Answer 1

Sugerencia : la fricción se opone a la tendencia a moverse. Se produce tensión si se estira la cuerda. $very$ levemente. Por lo tanto, aumente la fricción al máximo y luego la tensión actuará si es necesario.

Irónicamente, estás pensando absolutamente bien. Date una galleta.

de parte $a$ , sabemos que los bloques estarán en reposo en todos los ángulos debajo de eso.

También tiene razón, ya que en ángulos muy pequeños no hay necesidad de tensión y podemos ignorarla para resolver, nuevamente, una condición de ángulo. Has hecho un excelente trabajo. Felicitaciones.

Ahora llegamos a los ángulos medios. Oh... te vuelven loco, ¿no?

Empecemos. Podemos comenzar nuestro análisis a partir de 2 bloques, 1 dará una contradicción y otro dará un resultado, pero comenzaré con el que da la contradicción. Esto te ayudara.

Todos los ángulos están en grados :

$\theta=35$

Comencemos analizando el bloque A (sin intención de racismo)

La gravedad está tratando de derribarlo: $5*10*\sin(35)N=28.67N$

La fricción viene al rescate (arriba) : $50*\cos(35)N=16.38N$ // lee mi sugerencia para saber por qué la fricción se pone al máximo aquí

Como está en reposo, $T=12.29N$

Ahora el bloque B también está en reposo,

Peso = $114.71N$

f máx = $81.92N$

$16.38+114.71=12.29+f$

$f=118.8N$

OOPS, excedió el valor máximo. Entonces, comencemos analizando el Bloque B. (Me encanta la aliteración)

Gravedad intentando: $114.71N$

La fricción viene al rescate (arriba) : $81.92N$

Puedes tomar desde aquí, supongo. calcular la tensión. Tenga en cuenta que debe revisar su cálculo de tensión nuevamente, ya que A proporcionará la fuerza de fricción de reacción. Mejor suponga que $f$ desde el inicio de FUP de B.

Esto dará la respuesta correcta. La fricción será menor que el valor máximo para el bloque superior. En la mayoría de los casos, debe comenzar a analizar con un bloque más pesado (mi experiencia). Espero que se aclaren tus dudas.

He eliminado la discusión de comentarios. Por favor lleve cualquier otra discusión a Physics Chat .
¡Ay, esto es genial! ¿Funcionará esto para ejemplos arbitrariamente más complicados? Por ejemplo, ¿muchos bloques y muchas poleas? Supongo que el procedimiento general es elegir un bloque arbitrario, tratar de maximizar su fuerza de fricción y luego iterar alrededor del sistema hasta obtener un resultado válido.

usuario42733 · Answer 2

Corrección, la cuarta ecuación debe ser $T+f_1+f_2=m_BgSin\theta$

Se producirá tensión en la cuerda si los bloques se estiran desde el otro lado. Cuando $\theta \leq 21.8^\circ$ , usted calculó que la fuerza de fricción sobre $A$ será mayor que la fuerza debida a la pendiente. Entonces sí, $A$ acelerará hacia arriba, aflojando la cuerda, por lo que no se producirá tensión. Pero si $B$ va hace, estirará la cuerda de nuevo. Tendrás que ver la aceleración relativa de $A$ y $B$ para comprobar si la cuerda se aflojará.

La aceleración relativa de A y B es cero para $\theta < 43^\circ$ ¿no es así? Porque o la cuerda está floja para $\theta<21.8^\circ$ y la fricción mantiene los bloques en su lugar o ya no está flojo pero las fuerzas de fricción actúan en la dirección opuesta entre los bloques y todavía los mantienen en su lugar.
Sí, la aceleración relativa sería cero si todo el sistema se moviera en una dirección. La tensión debería incluirse en ambos casos entonces.
Pero estoy resolviendo específicamente el caso en el que no hay aceleración en absoluto, por lo que todas las fuerzas deben equilibrarse.
Luego está la tensión, por supuesto. A ver si puedes resolverlo ahora. Además, acepta una respuesta si no tienes más problemas.
Vea las ediciones en mi pregunta, particularmente la nueva ecuación. (1), y discusión un par de párrafos más abajo. Esta es la mejor restricción que puedo encontrar; solo $f_1+2f_2$ está determinado, pero no parece haber ninguna restricción adicional para arreglar las fricciones individualmente. Suponiendo que ambas fricciones estén en sus valores máximos requeriría $\theta$ ser 43 $^\circ$ , por lo que no funciona para, por ejemplo $\theta=30^\circ$ .

Juan Alexiou · Answer 3

En ángulos bajos, cuando la fricción puede mantener unidos los bloques, entonces no hay tensión en el cable y por lo tanto:

F_{2} = {metro}_{A} gramo pecado θ F_{2} = ({metro}_{A} + {metro}_{B}) gramo pecado θ

$f_2 = m_A g \sin \theta \\ f_2 = (m_A+m_B) g \sin \theta$

Solo cuando hay movimiento en los bloques hay tensión. En ese caso tienes $\ddot{x} = \ddot{x}_A = -\ddot{x}_B$

F_{2} = m_{S} {metro}_{A} gramo porque θ F_{2} = - m_{S} ({metro}_{A} + {metro}_{B}) gramo porque θ

$f_2 = \mu_S m_A g \cos \theta \\ f_2 = -\mu_S (m_A+m_B) g \cos \theta$

(observe el cambio de signo) y las ecuaciones de movimiento

{metro}_{A} (\ddot{X}) = gramo {metro}_{A} pecado θ - T - F_{2} {metro}_{B} (- \ddot{X}) = gramo {metro}_{B} pecado θ - T - F_{1} + F_{2}

$m_A (\ddot{x}) = g m_A \sin \theta -T -f_2 \\ m_B (-\ddot{x}) = g m_B \sin \theta -T - f_1 + f_2$

que se resuelve para $T$ y $\ddot{x}$ .

El caso en el que los dos bloques están pegados y se deslizan sobre la pendiente no puede existir debido al cable que los conecta.

Creo que esta restricción ya está implícita en mis ecuaciones en virtud de establecer todas las aceleraciones en cero y equilibrar las fuerzas.
La ecuación de restricción es lo que te permitirá encontrar las fuerzas de fricción. No asuma $F = \mu N$ , pero mantenga las fuerzas de fricción como desconocidas. Suponga también que los bloques se están moviendo.
cantidades tales como $x_A$ y $x_B$ no aparecen en ninguna parte de las ecuaciones que tengo; ¿Cómo puedo incluir esta restricción?
¡Exactamente! Debe considerar la cinemática del sistema para resolver completamente el problema. Te ayudaré a comenzar con mi respuesta.
¿Por qué podemos seguir asumiendo que cada fuerza de fricción estática está en su valor máximo? Para el problema más simple de un solo bloque en un plano inclinado, para ángulos por debajo del ángulo crítico, la fricción será menor que su máximo.
Resolviendo esas ecuaciones para $\theta=30^\circ$ Encuentro $\ddot{x}=-7.69\ {\rm m/s^2}$ . Pero eso implica que los bloques se están deslizando. La redacción de la pregunta implica que el deslizamiento solo comienza en $\theta=43^\circ$ . Entonces supongo que no es válido ingresar $\theta=30^\circ$ ?
No resolví el problema. Acabo de mostrarte cómo abordarlo, para estar en línea con la política de tareas . Es su trabajo asegurarse de que todos los signos y convenciones de los diagramas de cuerpo libre se reflejen correctamente en las ecuaciones.
Mi pregunta es esencialmente sobre cómo dibujar un diagrama de cuerpo libre para un caso como este y cómo restringir los valores de fricción. Su enfoque cinemático no parece proporcionar esta restricción.
También ha declarado "no asuma $F=\mu N$ ", pero en realidad lo has hecho en tu respuesta. Ahora estoy más confundido que antes. Aceptaré tu respuesta si me ayuda a llegar a la solución.
@bdforbes cuando los bloques se deslizan entonces $F=\mu N$ , pero cuando se pegan $F<\mu N$ .
Pero no se deslizarán por $\theta<43^\circ$ , ¡así que no sé cómo me ayuda esto!
Comienzo del segundo párrafo: ¿"Solo cuando hay movimiento hay tensión"? No, es completamente posible tener tensión mientras la situación es estática, este es precisamente el problema en el ángulo intermedio.

bdforbes · Answer 4

Las respuestas publicadas por otros me alentaron a examinar las suposiciones que estaba haciendo al tratar de resolver el problema. Desafortunadamente, creo que ninguna de las respuestas se dirigía en última instancia en la dirección correcta, por lo que no puedo aceptar ninguna de ellas.

Creo que la respuesta es que la fricción entre el bloque B y el plano siempre estará en su valor máximo una vez que el plano se incline a 21.8 $^\circ$ (es decir, hasta el punto en que la cuerda comienza a tensarse). Esto proporciona la restricción adicional que permite determinar la tensión en la cuerda y la fricción entre los bloques. Esto tiene como consecuencia que la tensión aumenta gradualmente desde cero en $\theta=21.8^\circ$ a su valor final de $47.76$ n en $\theta=43^\circ$ . En consecuencia, también hay un punto de cruce donde la fricción entre los bloques cambia de dirección. Para mí, este es un resultado físicamente sensible.

La respuesta dada por la persona que escribió el problema es 43°, la misma que obtuve... ¿Usaste el mismo enfoque que yo?
Ooops tomando masa como 10 en lugar de 20. Veré qué puedo hacer.

Bloques apilados en una pendiente conectados por cuerda alrededor de la polea

bdforbes

Respuestas (4)

malvado999hombre

david z

bdforbes

bdforbes

malvado999hombre

usuario42733

bdforbes

usuario42733

bdforbes

usuario42733

bdforbes

Juan Alexiou

bdforbes

Juan Alexiou

bdforbes

Juan Alexiou

bdforbes

bdforbes

Juan Alexiou

bdforbes

bdforbes

Juan Alexiou

bdforbes

floris

bdforbes

malvado999hombre

bdforbes

malvado999hombre

malvado999hombre

malvado999hombre

malvado999hombre