¿De dónde viene el último término en la fórmula de dos lentes? 1f=1f1+1f2−df1f21f=1f1+1f2−df1f2\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1} +\frac{1} {f_2} -\frac{d}{f_1f_2}?

No puedo resistirme a mostrar cómo se hace esto usando matrices de transferencia de rayos. Hay dos parámetros clave en cualquier punto a lo largo de un rayo de luz: la distancia$x$del punto desde el eje óptico, y el ángulo$\theta$del rayo con la horizontal. Entonces cualquier componente óptico del sistema se puede representar como un$2\times 2$matriz que transforma el par$(x,\theta)$para el rayo entrante en el par$(x',\theta')$para el rayo saliente:

$$\begin{pmatrix}x'\\\theta'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\times&\times\\\times&\times\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\\theta\end{pmatrix}.$$

Al usar lo que sabe, puede anotarlo fácilmente.

• una lente delgada tiene una matriz $$L=\begin{pmatrix}1&0\\-\dfrac{1}{f}&1\end{pmatrix}$$ dónde$f$es la distancia focal;
• un espesor$d$de espacio vacío tiene una matriz $$S=\begin{pmatrix}1 & d\\0&1\end{pmatrix}.$$

Sobre su problema: tenemos una lente de focal$f_1$(matriz$L_1$), espacio vacío y otra lente de focal$f_2$(matriz$L_2$), por lo que la matriz para todo el sistema es simplemente el producto de las matrices, en orden inverso

$$M=L_2\ S\ L_1 =\begin{pmatrix}1&0\\-\dfrac{1}{f_2}&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & d\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\-\dfrac{1}{f_1}&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-\dfrac{d}{f_1}&d\\-\left(\dfrac{1}{f_1}+\dfrac{1}{f_2}-\dfrac{d}{f_1f_2}\right)&1-\dfrac{d}{f_2}\end{pmatrix}$$

¡y puedes leer la distancia focal en la esquina inferior izquierda! Como ves, el 99% de mi exposición es solo explicar el método. El cálculo real es ese producto matricial triple, sistemático y trivial. No hagas el tonto con la geometría todo el tiempo: solo necesitas hacerlo una vez para deducir las matrices de los componentes comunes.

Hay una manera de derivar esa fórmula sin usar matrices de transferencia de rayos, sino usando la ecuación de la lente. No hay nada malo en la forma en que escribes.$u_2$.

Por el primero ($f_1$) y segunda lente ($f_2$), separados por una distancia$d$, se mantiene

$\Large \frac{1}{f_1}=\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_m} \tag{1}$

y

$\Large \frac{1}{f_2}=\frac{1}{d-s_m}+\frac{1}{s_2} \tag{2}$,

dónde$s_m$es la posición de la imagen desde$s_1$formada con respecto a la lente 1. La imagen final se forma a distancia$s_2$después de la segunda lente.

El dato que falta en este análisis es que debes dejar cierta distancia$d_f$delante y$d_b$detrás de la lente equivalente para hacer que las cosas funcionen . Por lo tanto, la ecuación para la distancia focal efectiva es

$\Large \frac{1}{d_f+s_1}+\frac{1}{d_b+s_2}=\frac{1}{f_e}$

o, reescribiendo:

$\Large \frac{1}{d_f+s_1}-\frac{1}{f_e}+\frac{1}{d_b+s_2} = 0 \tag{3}$

El cálculo procede de la siguiente manera:

1. Escribir$s_2(s_m)$como una función de$s_m$usando la ecuación (2) y sustituyéndola en la ecuación (3)
2. Escribir$s_m(s_1)$como una función de$s_1$utilizando la ecuación (1) y sustituirlo en la ecuación (3). Ahora ec. (3) solo características$s_1,d_b,d_f,f_e$.
3. Escribe la ecuación resultante (3) como una fracción. Suponiendo que el denominador no es$0$, podemos resolver para el numerador$= 0$. Este numerador resulta ser una ecuación cuadrática en$s_1$eso es$a_2 s_1^2 + a_1 s_1 + a_0 = 0$por cualquier valor de$s_1$. Un polinomio cuadrático siempre es$0$si sus tres coeficientes son$a_2 = a_1 = a_0 = 0$.
4. Tienes que resolver para$f_e, d_f, d_b$utilizando las tres ecuaciones dadas por$a_2 = a_1 = a_0 = 0$. Ahora se da cuenta de por qué no funciona la resolución de un solo parámetro, porque el sistema estaría demasiado restringido.

Obtendrá la fórmula de dos lentes para$f=f_e$, la distancia focal efectiva, dada en el OP.