¿Podría recomendar algún buen texto sobre geometría algebraica (solo sobre los números complejos en lugar de campos arbitrarios) y sobre geometría compleja, incluidas las variedades de Kahler, que podría servir como una introducción informal al tema para un físico teórico (teniendo en cuenta las aplicaciones en física , por ejemplo, en la teoría de cuerdas)?
Lo que quiero por un momento es obtener una imagen informal del tema en lugar de desenterrar los detalles sangrientos de las pruebas y perderme en capas cada vez más altas de abstracción de álgebra conmutativa y teoría de categorías. Los textos que he encontrado hasta ahora son bastante secos y carecen casi por completo de esta veta informal, y todos ellos están dirigidos a matemáticos puros, por lo que si existe algo como "Geometría algebraica para físicos" y "variedades de Kahler para físicos" (de por supuesto, probablemente tendrían títulos diferentes :)), agradecería mucho las referencias relevantes.
Los "Principios de la geometría algebraica" de Griffiths y Harris (Wiley) son los mejores para sus propósitos (lea solo las partes sobre la geometría de Kahler). Las secciones sobre geometría algebraica en "Mirror Symmetry" (Clay/AMS) son esencialmente una versión de Crib Notes de ese documento y algunos de los documentos clásicos de CY y geometría especial mencionados anteriormente.
Lo que debes tener en cuenta al entrar es lo siguiente:
Las variedades de Kahler son variedades complejas con un producto interno hermitiano en vectores tangentes que tienen una métrica determinada (localmente) por una sola función. Es la geometría en la que la métrica y la estructura compleja "se llevan muy bien". Esto simplifica muchos cálculos y agrega nuevas simetrías. Por eso sabemos tanto de ellos.
No estoy seguro de las aplicaciones genéricas a la física, pero cuando oigo hablar de geometría algebraica, inmediatamente pienso en la teoría de cuerdas. Y cuando oigo hablar de los colectores Kähler es bastante difícil no pensar en Calabi-Yaus :-)
Entonces, si no le importa este tipo de aplicaciones, podría encontrar útil un artículo de Brian Greene: String Theory on Calabi-Yau Manifolds . También contiene una charla general sobre geometría diferencial y teoría de cuerdas. Pero lo más importante es que allí encontrará los conceptos básicos de las variedades de Kähler y Calabi-Yau, así como muchas aplicaciones como la simetría especular y la investigación de espacios de módulos.
Un texto que inmediatamente me viene a la mente es "Conferencias sobre geometría compleja" de Philip Candelas, una introducción accesible que cubre los conceptos básicos. Creo que está escondido en algún proceso de Trieste o algo así.
Aunque no está especialmente dirigido a físicos, puede echar un vistazo a An Invitation to Algebraic Geometry de Smith, Kahanpää, Kekäläinen y Traves. Es muy breve y evita muchos tecnicismos y pruebas. En cambio, ofrece una vista de pájaro y logra transmitir algunos de los conceptos básicos.
Una exposición nueva y más popular directamente del medallista de campo Shing-Tung Yau: La forma del espacio interior
Encuentre una reseña aquí: http://plus.maths.org/content/node/5389
Encuentre una introducción muy suave y breve aquí: http ://plus.maths.org/content/node/5388
Encuentre una vista previa aquí: http://books.google.de/books?id=M40Ytp8Os_gC&lpg=PP1&ots=3dHRt8v3KI&dq=The%20shape%20of%20inner%20space&hl=en&pg =PP1#v=onepage&q&f=false
Encuentre la página web aquí: http://www.shapeofinnerspace.com/
Simetría especular, especialmente los primeros dos capítulos dan una breve introducción a la geometría algebraica. URL:http://www.claymath.org/library/monographs/cmim01.pdf
Una buena fuente que me recomendó mi asesor de pregrado son las notas de clase de Candelas sobre Geometría Compleja. Están escritos con la teoría de cuerdas en mente y cubren mucho terreno básico. No estoy seguro, si están disponibles en línea. Griffiths and Harris es muy bueno, pero probablemente no sea adecuado como su única fuente de autoaprendizaje. Solo para tener una idea de qué ideas se necesitaban en la teoría de cuerdas hace 25 años, podría ser útil echar un vistazo a los capítulos 12, 14, 15, 16 del segundo volumen de Green, Schwarz, Witten. Especialmente 14 y 15 deberían ser interesantes para usted, incluso si aún no tomó un curso de teoría de cuerdas.
A estas alturas, por supuesto, hay muchas otras aplicaciones de ideas de la geometría algebraica al estudio de la teoría de cuerdas más allá de las que normalmente se encuentran en los libros de texto. Por ejemplo, la construcción de modelos en -la teoria obliga entre otras cosas al estudio de las singularidades de las fibraciones elipticas ya que la dinamica aproximada de determinadas branas esta determinada por variaciones de estructura hodge. Para encontrar ejemplos interesantes, es útil conocer las variedades tóricas. La mayoría de esos temas en realidad no se tratan en los textos introductorios.
En 'D-branes on Calabi-Yau manifolds' de Paul Aspinwall ( http://arxiv.org/abs/hep-th/0403166 ) se revisa algo de geometría algebraica con el objetivo principal de comprender las D-branas en el contexto de la simetría especular. .
No he comenzado a leerlo a fondo, pero parece accesible para los físicos, al menos para aquellos con conocimientos básicos de matemáticas para la teoría de cuerdas.
Creo que la teoría de categorías es necesaria para comprender la geometría algebraica, y en la tesis de Ketan Vyas se puede encontrar una introducción muy básica a la teoría de categorías con el objetivo de comprender cómo las teorías de campos cuánticos topológicos (TQFT), sus observables y sus condiciones de contorno forman categorías. Temas de teoría de campos cuánticos topológicos y holomorfos' ( http://thesis.library.caltech.edu/5894/ ). Debe ser fácilmente legible por aquellos familiarizados con TQFT.
estudiante de medicina
Selene Routley