¿Cuántos rayos X emite una bombilla?

La fórmula que buscas se llama Ley de Planck . Copiando Wikipedia:

El resplandor espectral de un cuerpo,$B_{\nu}$, describe la cantidad de energía que emite como radiación de diferentes frecuencias. Se mide en términos de la potencia emitida por unidad de área del cuerpo, por unidad de ángulo sólido sobre el que se mide la radiación, por unidad de frecuencia.

$$B_\nu(\nu, T) = \frac{ 2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^\frac{h\nu}{k_\mathrm{B}T} - 1}$$

Ahora, para calcular la potencia total emitida por unidad de área por ángulo sólido por nuestra bombilla en la parte de rayos X del espectro EM, podemos integrar esto hasta el infinito:

$$P_{\mathrm{X-ray}} = \int_{\nu_{min}}^{\infty} \mathrm{B}_{\nu}d\nu,$$

dónde$\nu_{min}$es donde (algo arbitrariamente) elegimos el fotón de frecuencia más baja que llamaríamos un fotón de rayos X. Digamos que un fotón con una longitud de onda de 10 nm es nuestro límite. Digamos también que la bombilla de 100 W tiene una temperatura superficial de 3700 K, la temperatura de fusión del tungsteno. Este es un límite superior muy generoso: parece que un número típico podría ser 2500 K.

Podemos simplificar esto a:

$$P_{\mathrm{X-ray}} = 2\frac{k^4T^4}{h^3c^2} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{x_{min}}^{\infty}x^3e^{-nx}dx,$$

dónde$x = \frac{h\nu}{kT}$. wythagoras señala que podemos expresar esto en términos de la función gamma incompleta, para obtener

$$2\frac{k^4T^4}{h^3c^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4} \Gamma(4, n\cdot x)$$

Reemplazar algunos números revela que el término n = 1 domina a los otros términos, por lo que podemos eliminar n términos más altos, lo que da como resultado

$$P \approx 10^{-154} \ \mathrm{Wm^{-2}}.$$

Esto es diminuto . En el transcurso de la vida del universo, se puede esperar que, en promedio, el filamento no emita fotones de rayos X.

Tratamientos más exactos pueden brindarle números más exactos (hemos ignorado el área de superficie del filamento y el factor de ángulo sólido, por ejemplo), pero el orden de magnitud es muy revelador: no hay fotones de rayos X emitidos por una luz estándar bulbo.

Las longitudes de onda de la luz emitida se pueden calcular utilizando la ley de tablones y la temperatura del objeto. Para su bombilla incandescente promedio de 100 W, el filamento es de 2823 Kelvin según Google.

El resplandor espectral ,$B$, es igual a

$$\frac{1.2\cdot10^{52}}{\mathrm{wavelength}^{5}\cdot e^{\frac{1.99\cdot10^{43}}{\mathrm{wavelength}\cdot4\cdot10^{26}}}-1}$$

Las matemáticas para resolver el resplandor espectral son difíciles, por lo que esta calculadora en línea hará todo el trabajo. Los rayos X están entre 0.01nm y 10nm. La radiancia total a 10 nm es$2.7\cdot10^{-187}$fotones/s/m2/sr/µm. Eso es tan increíblemente pequeño que le tomaría mucho tiempo a esa bombilla emitir un fotón de rayos X. La calculadora no dará la radiación espectral de los rayos X de menor longitud de onda, por lo que solo usaremos los rayos X más grandes.

Para calcular cuántos fotones por segundo se emiten, necesitaría conocer el área de superficie del filamento. Es una pequeña picadura de metal, que sería difícil de encontrar, pero si realmente quieres, abre una bombilla y mide su longitud y diámetro con un calibrador. Estime el área de la superficie usando la fórmula del área de la superficie de un cilindro A=πdh. Olvídese de los extremos, son demasiado pequeños para molestarse.

Si no quiere pasar por la molestia de romper una bombilla, haga una estimación descabellada. 0,6 m de longitud y$5\cdot10^{-4}$diámetro, siendo generoso. superficie de 0,001 m ² . Asi que$2.7\cdot10^{-187}$fotones / s / m ^ 2 / sr / µm, luego con el área de superficie dada,$2.7*10^{-190}$fotones/s/sr/µm. Eso es 8.5 fotones cada$10^{186}$años. Tal vez si miras 100,000,000,000,000 bombillas, podrías tomar una radiografía en el transcurso de tu vida.

Daré una forma cerrada para la integral en la respuesta de Chris Cundy.

Haciendo la sustitución$u=nx$, obtenemos

$$\sum_{n=1}^{\infty} \int_{x_{min} \cdot n}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{u}{n}\right)^3e^{-u}\mathrm{d}u$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \Gamma(4,x_{min}\cdot n)$$

dónde$\Gamma$es la función gamma completa superior. Nosotros escribimos$a=x_{min}$como se usará mucho, un nombre corto es más útil. Usando la fórmula de reducción para la función gamma cuando el primer argumento es un número entero, obtenemos:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n^4}e^{-an}\left(6+6an+3a^2n^2+a^3n^3\right)\right)$$

$$6\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}e^{-an} + 6a\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}e^{-an}+ 3a^2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}e^{-an}+a^3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}e^{-an}$$

Ahora tenga en cuenta que

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}e^{-an} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \left[\frac{1}{n}e^{-an}\right]=\sum_{n=1}^{\infty}-e^{-an}=-\sum_{n=1}^{\infty}(e^{-a})^n=1-\frac{1}{1-e^{-a}}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}e^{-an} = \int 1-\frac{1}{1-e^{-a}} \mathrm{d}a = -\ln|1-e^{-a}|$$

Obtendremos los otros términos de manera similar. El resultado final es:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \int_{a}^{\infty} x^3e^{-nx}dx = -6\mathrm{Li}_4(e^a)+6a\mathrm{Li}_3(e^a)+6a^2 \mathrm{Li}_2(1-e^{-a})-9a^2\mathrm{Li}_2(e^a)\\+2a^3\ln|1-e^{-a}|-9a^3\ln|1-e^{a}|+5\frac{3}4 a^4$$

Usé un sistema de álgebra computacional para encontrar este formulario.$\mathrm{Li}_n$es la función polilogarítmica.