¿Cuánto trabajo puede hacer una fuerza sobre un resorte? (¿Por qué dos métodos son incorrectos?)

Lo que está mal con el método 2 y el método 3 es que

En ese punto, toda su energía está en forma de energía potencial del resorte, como se indica en la solución.

Si bien es posible que las otras respuestas ya muestren por qué la solución de los libros es correcta, aquí hay otro punto de vista que podría ayudar:

¿Cuál es la fuerza neta sobre el objeto?

Esta es la fórmula que te da la posición de equilibrio de$x_0=F/k$, así que cambiemos un poco nuestro sistema de coordenadas para que$x'_0=0$, es decir$x' = x - F/k$.

¿Cuál es ahora la fuerza neta en nuestro nuevo sistema de coordenadas, donde el equilibrio es 0?

Oh, espera, en este sistema de coordenadas, la fuerza sobre el objeto es proporcional a su desplazamiento: ¡eso es un oscilador armónico!
La posición inicial es el desplazamiento máximo en una dirección y, como sabemos por los osciladores armónicos, el desplazamiento máximo en la otra dirección es igual en distancia, por lo que el rango total de oscilación de este objeto es$x_{max}=2 F/k$.

Junto con la fórmula habitual de$W=Fx_{max}$obtienes el mismo resultado que el libro. También puede elegir la conservación de la energía, ya que toda la energía en el desplazamiento máximo se almacena en el resorte y el objeto no se mueve, que es la tercera línea que citó del libro,$W=\frac{1}{2}kx_{max}^2$. Esto es por cierto. también la energía del oscilador armónico.

O en resumen: ambos métodos funcionan si elige el máximo correcto. desplazamiento.

He tratado de dar los antecedentes de la solución dada en el libro de texto.

La energía almacenada o liberada está dada por$\int \vec f \cdot d \vec x$y lo importante a tener en cuenta es que la fuerza$\vec f$ varía con la extensión$\vec x$.
Esta relación generalmente se escribe como$\vec f = - k \vec x$con la fuerza$\vec f$siendo la fuerza ejercida por el resorte sobre un objeto externo, entonces la relación para una fuerza (externa) que actúa sobre el resorte tiene un signo positivo.

Entonces la energía almacenada/liberada es$\displaystyle \int_0^x kx \,dx = \frac 12 kx^2$

Deje que la extensión estática del resorte cuando una fuerza$F$se aplica ser$x_o$y entonces$F=kx_o$y la energía almacenada en el resorte es$\frac 12 kx^2_o$.

La situación en el problema es diferente en que una fuerza constante$F$se aplica y el trabajo realizado por la fuerza al moverse a la posición de extensión estática es$Fx_o$.
Al mover la masa a esa posición de extensión estática, la fuerza$F$también ha acelerado la masa.
Entonces, la masa también tiene energía cinética que debe tenerse en cuenta si se necesita encontrar el trabajo total realizado por la fuerza.$F$en términos de$k$y$F$.

Ahora la energía cinética debe ser el trabajo realizado por la fuerza$Fx_o= kx^2_o$menos la energía almacenada en el resorte$\frac 12 kx^2_o$.
Entonces la energía cinética es$\frac 12 kx^2_o$.

Tenga en cuenta que aunque la fuerza neta sobre la masa en la posición de extensión estática es cero, la masa se mueve y, por lo tanto, sobrepasa la posición de equilibrio estático y la fuerza$F$continúa realizando trabajo ya que la dirección de la fuerza aplicada y su desplazamiento siguen en la misma dirección.

Deje que la extensión cuando la masa finalmente se detenga sea$x_{\max}$.
Esto sucede cuando todo el trabajo realizado por la fuerza se almacena como energía potencial en el resorte.$FX=\frac12kx_{\max}^2$y esta es la ecuación dada en la solución del libro de texto.

Usando$F=kx_o$da$x_{\max}= 2x_o$.

Por tanto, el trabajo máximo realizado por la fuerza$F$es$F\,2x_o=\dfrac{2F^2}{k}$