¿El tiempo propio es igual al Intervalo Invariante o al tiempo transcurrido en el Marco de Reposo?

Esto no es una contradicción, sino simplemente una restricción en los sistemas de coordenadas permitidos que calificarían como marco de reposo de una partícula. Has descubierto que a lo largo de la línea de tiempo de la partícula, la métrica en el marco de reposo de la partícula debe tener$g_{00}=1$. No es obligatorio usar tales coordenadas, pero solo tales coordenadas se denominarán marco de reposo de la partícula.

Como ejemplo, considere la métrica estándar de Schwarzschild para una variedad con firma (-+++) y en unidades donde$c=1$

$$g=\left( \begin{array}{cccc} -\left(1-\frac{R}{r}\right) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \left(1-\frac{R}{r}\right)^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin (\theta ) \\ \end{array} \right)$$ cual es el elemento de linea $$ds^2 = -d\tau^2 = -\left(1-\frac{R}{r}\right) dt^2 + \left(1-\frac{R}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin (\theta ) d\phi^2$$

Ahora, para una partícula en reposo tenemos$dr=d\theta=d\phi=0$entonces

$$ds^2 = -d\tau^2 = -\left(1-\frac{R}{r}\right) dt^2 = g_{00} dt^2$$ Note que para$r=\infty$tenemos$g_{00}=-1$entonces el momento adecuado$d\tau$es igual a la coordenada de tiempo$dt$. Entonces estas coordenadas son un marco de reposo válido para un observador en reposo en$r=\infty$. Sin embargo, por$r=10R$tenemos$g_{00} = -0.9$entonces$d\tau^2 = 0.9 dt^2$por tanto, el tiempo coordenado no es igual al tiempo propio. Estas mismas coordenadas no son un marco de reposo válido para un observador en reposo en cualquier punto finito.$r$.

Tu segunda afirmación es correcta. En GR, siempre se puede cambiar a un nuevo conjunto de coordenadas$x'=x'(x)$, por lo que está claro que cualquier elección particular de coordenada de tiempo no tiene ningún significado físico absoluto. lo que es invariante es el intervalo$s$. Un observador que se mueve a lo largo de una trayectoria similar al tiempo experimentará el paso del tiempo de acuerdo con el intervalo invariable a lo largo de la trayectoria, y esto es independiente de la elección de las coordenadas. Ahora, si usted es ese observador, una cosa que podría hacer es mirar su reloj y "dibujar una marca" en el espacio-tiempo una vez por segundo de acuerdo con su reloj. Al hacer esto, habría construido una coordenada de tiempo que tiene la propiedad simple de que$ds = dt$. Pero esta relación solo es válida para esa elección de coordenadas de tiempo.

Edite para hacer un seguimiento de algunos comentarios: se pregunta si/por qué en SR$g_{00}$debe ser igual a$-1$. La respuesta es que no importa. O más precisamente, esa es una declaración sin sentido. La razón es que el tiempo es una cantidad dimensional . Si mido el tiempo en segundos, y tengo$g_{00}=-1$, entonces también podría mantener la misma coordenada de tiempo pero establecer$g_{00}=-1/{3600}$y luego obtendría el tiempo medido en minutos. Así que es realmente un punto discutible. La diferencia con GR es que en GR, la métrica varía en el espacio-tiempo. Entonces, la línea de tiempo de un observador puede pasar por puntos donde la métrica es diferente, y esos cambios relativos producirán efectos interesantes. En GR, haría alguna elección de unidades en un punto de su línea temporal, y podría usar eso para establecer $g_{00}=-1$ en ese punto , pero luego, a medida que continúe en la línea de tiempo, experimentará diferentes valores de la métrica y, por lo tanto, el valor del tiempo de coordenadas y su intervalo invariable acumulado comenzarán a diferir.