Primero, referencias: Bosch y Hale, 1992 tiene valores de función S y sección transversal para las reacciones D y T, al igual que Nuclear Cross Sections for Technology del Departamento de Comercio de EE. UU., 1979.

Fusión DT

La abundancia natural de deuterio es 0,0156%. 1 metro$^3$de agua de mar tiene una masa de 1000 kg, o 5.5e4 moles de H$_2$O. Dado que hay dos hidrógenos por molécula de agua, eso nos da alrededor de 17 mol de deuterio por metro cúbico de agua de mar. La densidad atómica del deuterio es entonces de 1,1e25 átomos/m$^3$.

Las concentraciones actuales de tritio van desde 2 TU (1 TU = 1e-18 tritio por hidrógeno) en el Ártico hasta 0,15 TU en el Océano Antártico. Establezcamos una línea base de concentración de 1 TU, por lo que usando los mismos cálculos tenemos 1.1e-13 moles de tritio por metro cúbico y 6.9e10 átomos / m$^3$.

Una velocidad de reacción nuclear se puede aproximar por

$$\text{Reaction Rate} = \Phi N\sigma,$$ dónde $\Phi$es el flujo de partículas del reactivo más rápido, $N$es la densidad del reactivo más lento, y $\sigma$es la sección transversal para la interacción.

Para calcular tanto el flujo como la sección transversal para la interacción, necesitamos la temperatura del plasma en el que debemos convertir el agua de mar para iniciar la fusión. Este es el gráfico relevante de secciones transversales para la fusión de varias reacciones basadas en la energía cinética del centro de masa del plasma.

Podemos ver allí que la velocidad de reacción de DT, la temperatura óptima para la sección transversal de fusión es de 100 keV (alrededor de 1100 millones de kelvin) y a esa velocidad la sección transversal para la fusión es de 5 barns (1 barn es igual a 1e- 28 metros$^2$).

El flujo es la velocidad media de las partículas dividida por la densidad y se puede calcular a partir de la energía cinética térmica en tres dimensiones. Queremos la magnitud media de la velocidad$v_{th}$, que podemos obtener de

$$v_{th} = \sqrt{\frac{8k_BT}{m\pi}}$$

dónde$m$es la masa de la partícula.$T$es la temperatura, y se puede convertir a Kelvin de electronvoltios como proporción de la constante de Boltzmann ($k_B$) como

$$T_K = \frac{1.6\times10^{-19} \text{J/eV}}{k_B}T_{eV}$$ dándonos $$v_{th} = \sqrt{\frac{8\cdot1.6\times10^{-19} \text{ J/eV} \cdot 100000 \text{ eV}}{2\mu\pi}} = 3.5\times10^6 \text{ m/s}$$ para el deuterio donde $\mu$es una unidad de masa atómica (1.66e-27 kg).

El flujo de deuterio es entonces

$$3.5\times10^6 \text{ m/s}\cdot1.1\times10^{25} \text{atoms/m}^3 = 3.8\times10^{31} \text{ atoms / s}\cdot\text{m}^2.$$ Ahora tenemos todas las partes para calcular la velocidad de reacción general: $$\text{Reaction Rate} = \left(3.8\times10^{31} \text{ 1 / s}\cdot\text{m}^2\right)\left(5\times10^{-28}\text{ m}^2\right)\left(6.9\times10^{10} \text{ 1 / m}^3\right)$$ que es igual $1.3\times10^{15} \text{fusions / m}^3\cdot\text{s}$.

Ahora que hemos hecho esa parte difícil de las matemáticas, averigüemos la respuesta. La energía necesaria para calentar 5,5e4 moles de agua a 100 keV es de aproximadamente 5,4e14 J. La energía producida por 1,3e15 fusiones es de 14,1 MeV por fusión o 2,9 kJ en total por segundo.

La fusión DT le cuesta 5e14 J para comenzar y produce 3e3 J por segundo. Entonces eso no vale la pena, ni remotamente. Simplemente no hay suficiente tritio en el agua

fusión DD

Primero, señalemos algo. A la temperatura de la reacción anterior, la sección transversal de la reacción es mucho menor para DD que para DT, pero dado que tiene mucho, mucho más deuterio, obtendrá mucha más energía.

Usando los cálculos anteriores, dejemos que la sección transversal sea 0.02 graneros (del gráfico). El flujo de deuterio es el mismo, mientras que la densidad del tritio se reemplaza por la densidad del deuterio para una tasa de fusión de 8,4e26 fusiones por segundo por metro cúbico. DD realiza dos reacciones diferentes, tanto en tritio como en helio-3. Dado que cada uno de estos tiene un 50% de posibilidades de ocurrencia, podemos promediar las dos energías para un esperado 2,73 MeV por fusión. Esto nos da 4e14 W de salida de fusión en 5e14 J de entrada. Casi retorno de la inversión! Por supuesto, su plasma está tan caliente que no hay forma de que obtenga ni 1 segundo de salida antes de que el plasma se expanda como... bueno... una bomba termonuclear.

Para averiguar los mejores resultados posibles de la fusión de un montón de agua de mar, podemos trazar la energía cinética del centro de masa frente a la potencia de fusión de salida. La potencia de salida de fusión se puede calcular combinando la fusión DD y la fusión DT, como se calculó anteriormente.

La línea roja es la salida total, la línea azul es la salida DD y la línea verde es la salida DT. Como puede ver por la falta de una línea azul, la salida de DD domina debido a la baja disponibilidad de tritio. En general, obtiene más cuanto más pone, hasta aproximadamente 3 MeV. Sin embargo, se necesita mucho más calor para llevar el plasma a 3 MeV en primer lugar. En cambio, representemos la entrada de energía en J contra la salida de energía en J.

Aquí la línea negra es el punto de equilibrio: 1 J de salida por segundo por 1 J de entrada. Nuevamente, en realidad, nunca sería capaz de mantener unido este plasma ni siquiera por un segundo. Aun así, en realidad no recupera lo que invirtió. Lo más cerca que está es de unos 100 keV, como calculamos al principio de esta sección.

Fusión de PP

De Adelberger, et al., 1998 :

Las tasas de la mayoría de las reacciones nucleares estelares se infieren extrapolando las mediciones a energías más altas a las energías de reacción estelares. Sin embargo, la tasa para el fundamental p + p$\rightarrow$ $^2$D+e$^{+}$+$\nu_e$reacción es demasiado pequeña para ser medida en el laboratorio. En su lugar, la sección transversal para la reacción pp debe calcularse a partir de la teoría de interacción débil estándar.

Esto explica por qué no he encontrado buenos gráficos de sección transversal versus temperatura como pude encontrar para las reacciones DT y DD.

Dado que la mayor parte de la fusión del sol es del tipo pp, y que el sol produce menos energía por volumen que el cuerpo humano, podemos suponer que esta interacción producirá una cantidad insignificante de energía a cambio de los terajulios necesarios para iniciarla.