¿Cuánta energía necesitas para levitar/contrarrestar la gravedad sin ningún desplazamiento o cambio de altura?

Una mesa puede mantener para siempre una manzana "levitada" sobre el suelo con su fuerza normal. Eso no requiere energía. No se realiza ningún trabajo.

Una fuerza no gasta energía para luchar contra otra fuerza .

Sin embargo, la fuerza puede costar energía para ser producida . Este es un tema aparte. El jetpack gasta combustible para producir una fuerza ascendente, el cuerpo humano gasta nutrición para extender/contraer los músculos para producir la fuerza de "sostenimiento" para sostener una lata de leche, pero la mesa no gasta nada para producir su fuerza normal.

El jetpack se cae después de un tiempo y te sientes cansado después de un tiempo, no porque se haya realizado trabajo en los objetos, sino porque el trabajo se realizó dentro de esas "máquinas" (jetpack y cuerpo) que producen las fuerzas. La mesa nunca se cansa. Nunca gasta ningún trabajo.

El problema claramente no se trata de sostener nada. No se necesita energía para sostener cosas. Tienes razón en que no se realiza ningún trabajo sobre el hombre que levita, si no sufre ningún desplazamiento. El trabajo puede realizarse dentro de la "máquina" que produce la fuerza, pero eso es interno.

Para flotar en el aire, la conservación del momento dicta que para mantener un objeto de 100 kg flotando debemos "lanzar" 100 kg hacia la tierra a una velocidad de 9,8 m/s por cada segundo que queramos flotar. La energía cinética necesaria para acelerar 100 kg a 9,8 m/s es de 4,8 kilojulios. Entonces, una hélice que toma 100 kg de aire por segundo necesitaría 4,8 kilojulios por segundo o 4,8 kilovatios (un vatio son julios por segundo).

También podríamos impulsar el doble de la masa de aire a la mitad de la velocidad para flotar. Dado que la energía cinética es el cuadrado de la velocidad que impulsa 200 kg hacia abajo a 4,9 m/s, se utilizarían 2,4 kilovatios o la mitad de la energía. Por lo tanto, más grande es mejor y no existe un límite teórico de cuán bajo puede ser su consumo de energía. Algún tipo de rayo tractor futurista que puede empujar o tirar de una gran masa de aire casi no usaría energía. Con nuestra tecnología y materiales actuales, una pala abierta muy grande (es decir, un helicóptero), un gran ventilador con conductos o un turboventilador de derivación alta son sus mejores opciones, ya que moverán la máxima cantidad de aire con la mínima cantidad de energía.

Si desea un jet pack más tradicional en el que toda la masa de reacción se mantenga a bordo, entonces se está metiendo en los cohetes y no le importa la eficiencia energética. Solo le importa el impulso específico (densidad de energía) del combustible. Además, incluso con los mejores combustibles para cohetes, sus tiempos máximos de vuelo se medirán en segundos.

Su pregunta es realmente profunda de una manera sutil. La clave para entender esto es que al hombre se le aplica una fuerza de gravedad que lo tira hacia abajo. Para que se mantenga en el aire a una altura constante, debe haber una fuerza que actúe en la dirección opuesta y contrarreste la fuerza de la gravedad.

En su ejemplo, esa fuerza contraria la proporciona el jetpack. Entonces, el jetpack debe producir continuamente una aceleración hacia arriba equivalente al peso del hombre (y el jetpack). Pero, ¿por qué es diferente a cuando el hombre está parado en el suelo? La gravedad de la tierra sigue actuando sobre ti, pero no tienes que quemar combustible continuamente para permanecer en el lugar. Considere la misma posición sobre un resorte grande. Cuando se sube por primera vez, se moverá hacia la tierra y comprimirá el resorte hasta que empuje hacia atrás lo suficiente como para detener su movimiento. La fuerza hacia arriba del resorte está siendo suministrada por el peso del hombre de manera reflexiva. Esencialmente, el suelo hace lo mismo. La elasticidad de la superficie crea un equilibrio mecánico.. Los modelos newtonianos en realidad no describen cómo los materiales producen fuerza elástica. Simplemente se supone.

El jetpack debe crear una fuerza ascendente igual a la de la gravedad. Por eso, expulsa algo de masa hacia abajo. A continuación, calculo el trabajo realizado por el jetpack asumiendo que toda la masa expulsada sale a la velocidad$v$que depende de los detalles de la construcción del jetpack.

Supongamos que el jetpack de masa$m(t)$, donde$t$es el tiempo pierde$\delta m(t)$masa en poco tiempo$\delta t$, entonces su cantidad de movimiento cambia en$\delta p = \delta m \cdot v$, donde$v(t)$es la velocidad a la que la materia es empujada hacia abajo desde el jetpack. Para contrarrestar la gravedad, tienes que tener$m(t)g=-\frac{\delta m}{\delta t} v$, donde el signo proviene del hecho de que pierdes masa del jetpack mientras intentas levitar. En el límite de tiempo muy corto, la ecuación se convierte en:

$\dfrac{dm(t)}{m(t)}=-\dfrac{v}{g}dt$

Esta ecuación tiene solución y se puede obtener la masa que se debe perder para seguir volando con el jetpack. Suponga que necesita encontrar el trabajo realizado al volarlo, que tiene que ser igual a la energía cinética del gas expulsado durante algún tiempo. Como asumimos que toda la masa es expulsada en$v$del jetpack, el trabajo debe ser$W(t)=\dfrac{(m_0-m(t))v^2}{2}$, con$m_0$siendo la masa inicial de man+jetpack.

Como explica @Steeven, en principio no se requiere energía. Sin embargo, encontrará que 'flotar' requiere energía. Cuánto depende de cómo te muevas.

Los conceptos básicos son muy simples. La gravedad ejerce una fuerza constante.$F$sobre el objeto que levita. Para contrarrestar esa fuerza$F$, puede colocar el objeto sobre una mesa o impartir impulso a una masa de reacción externa como el aire (helicóptero) o impulsar parte de su propia masa (cohete).

La fuerza generada al impartir cantidad de movimiento a una masa de reacción externa es

con$\dot{m}$el flujo másico de reacción y$v$la velocidad de la masa de reacción. Para hacer esto, se requiere una cierta cantidad de poder,

A partir de esto, es inmediatamente obvio que desea tener un flujo de masa muy grande y una velocidad de masa de reacción muy baja. Esta es la razón por la cual los helicópteros son más eficientes que los jetpacks (y los turboventiladores más eficientes que los turborreactores).

En ciencia espacial, esto todavía se mantiene, pero dado que necesita almacenar toda su masa$m$a bordo antes de iniciar el vuelo estacionario, es preferible gastar mucha energía para minimizar el flujo másico. Esta es la razón por la que los jetpacks son aún más preferibles que los trajes cohete para volar sobre la Tierra.