Expansión de Taylor de campos traducidos

Considere un campo escalar,$\phi$. Si hacemos la transformación activa,$x^\mu \to x^\mu-\epsilon^\mu$el cambio en el campo escalar, infinitesimalmente, viene dado por,

$$\phi \to \phi + \epsilon^\mu\partial_\mu \phi + \mathcal{O}(\epsilon^2)$$

En una notación más explícita, podemos escribir,

$$\phi\to \phi + \epsilon^0 \frac{\partial \phi}{\partial t}+\epsilon^1 \frac{\partial \phi}{\partial x}+\epsilon^2 \frac{\partial \phi}{\partial y}+\epsilon^3 \frac{\partial \phi}{\partial z}$$

Nota$\epsilon^\mu$es simplemente la magnitud de la traslación en el$\mu$ª dirección. Para$1$-forma tal como$A_\nu$, simplemente seleccionamos un índice adicional en el campo de nuestra expansión. Lo anterior es simplemente un análogo dimensional superior de la expansión habitual de Taylor. Para ver esto claramente, tenga en cuenta,

$$f(x+h)= f(x)+hf'(x)+\frac{1}{2}h^2f''(x)+\mathcal{O}(h^3)$$

En la teoría cuántica de campos, un campo toma el lugar de$f$, y$h$se convierte en un vector, en cuyo caso tomamos derivadas, como se muestra, con respecto a cada coordenada.