Cuando presionamos una tecla de piano, ¿por qué una nota de tono alto no dura tanto como una nota de tono bajo?

Eso es cierto no solo para los pianos, sino para todos los instrumentos en los que se puntea una cuerda, y la razón es la física básica.

Cuando golpeas una cuerda con la tecla de un piano, o la golpeas con el dedo, o con una púa, etc., le impartes una cierta cantidad de energía, dependiendo de qué tan fuerte la golpees; cuanto más fuerte la golpeas, más más energía le das.

A continuación, debe saber que dada la misma amplitud de vibración, las frecuencias más altas contienen más energía que las frecuencias más bajas (la cuerda vibra más a menudo en la misma cantidad de tiempo).

Por lo tanto, si imparte la misma energía a dos cuerdas diferentes (o a la misma cuerda con diferentes longitudes), la cuerda que vibra a una frecuencia más alta disipará la energía más rápido (la frecuencia más alta requiere más energía) mientras que la misma energía en una más baja. La cuerda de frecuencia disipará menos energía en la misma cantidad de tiempo y, por lo tanto, el sonido durará más.

En otras palabras, la cantidad total de energía disipada será la misma, pero una cuerda con un tono más alto la disipará más rápido (y, por lo tanto, durará menos) mientras que una cuerda con un tono más bajo disipará su energía más lentamente y, por lo tanto, durará más tiempo.

Puede probarlo fácilmente en una guitarra: elija cualquier cuerda, y la primera toque la cuerda abierta y déjela tocar. Luego toque la cuerda en el traste más alto, tírela con la misma fuerza y ​​observe cuánto tiempo suena. La diferencia debería ser bastante obvia.

Se proporcionan muchas respuestas a medias y, francamente, parte de la información es ambigua, posiblemente falsa.

La pregunta en sí no es lo suficientemente completa como para obtener una respuesta. Lo mejor que puedo hacer es proporcionar un montón de información que creo que es relevante para la discusión y espero que ayude.

Usando el modelo ideal simple para una cuerda vibrante, placas vibrantes, etc., la fuerza de amortiguamiento lineal es proporcional a la velocidad de un elemento de masa de la cuerda. Cuando las ecuaciones se expresan en el dominio de la frecuencia, esto es proporcional a la frecuencia de la onda que se propaga en la cuerda. De esto es razonable concluir que los armónicos más altos en un solo paquete de onda morirán más rápido que el fundamental. Esto se observa comúnmente en sistemas aislados. Después de un tiempo, la fundamental es la única frecuencia perceptible que queda. La conclusión también es válida comparando fundamentos de diferentes cadenas.

Uno tiene que entender de dónde viene esta relación. Hay al menos dos fuentes de amortiguamiento en las que puedo pensar para la cuerda casi ideal montada sobre soportes rígidos ideales. El primero es la resistencia del aire de la cuerda que se mueve a través del aire. Este segundo es el amortiguamiento interno debido a las vibraciones del material dentro de la cuerda. En otras palabras, la energía del modo transversal (el modelo ideal) se pierde en los modos longitudinales en el material y lo calienta, aumenta la entropía, etc. Estos son bastante pequeños pero no completamente cero.

La primera crítica a esto es que las cuerdas verdaderas también tienen rigidez y obedecen a ecuaciones diferenciales de mayor orden que la cuerda ideal. Esto no cambia los argumentos anteriores pero contribuye a sobretonos disonantes que no están en la secuencia armónica, fn = n*f1.

La energía finalmente se pierde de la cuerda al cuerpo del instrumento y finalmente al aire como sonido acústico. Si esto no fuera posible, no podríamos escuchar el instrumento. Esto introduce un conjunto completamente nuevo de ecuaciones, acoplamientos y física a considerar. La tapa de una guitarra, por ejemplo, obedecería un conjunto de ecuaciones para placas rígidas. Tienen sus propios armónicos naturales que pueden o no estar alineados con los de las cuerdas. Parte del arte de Luthier es optimizar esto. Entonces, dependiendo de la calidad del instrumento y su condición, algunas notas pueden amplificarse más que otras. Esta es una ocurrencia muy común con los instrumentos acústicos de cuerda y algo que probamos cuando compramos un instrumento costoso. Verifica si hay zumbidos, puntos muertos y RESONANCIA.

Esto me lleva a un punto importante. Que el resto del instrumento vibrará en resonancia simpática con la nota que se toca y sus armónicos.

El contenido armónico de la cuerda depende del ataque. No todas las cuerdas son iguales. De hecho, se podría argumentar que esta es la parte más importante del sonido y la parte más difícil de aprender a tocar un instrumento, aprender el ataque adecuado y aprender una variedad de ataques para la guitarra. Cada ataque produce un "tono" completamente diferente. Esto hace que la guitarra sea una gran imitadora y tiene una reputación de versatilidad. Por el contrario, los martillos de su piano son fijos. Puede controlar la amplitud (fuerza del ataque) y con los pedales puede controlar el sostenido pero no puede controlar el perfil de ataque inicial de la(s) cuerda(s). Tenga en cuenta que cada "tecla" golpea varias cuerdas, no solo una.

Ahora, típicamente (pero no siempre) la fundamental es la nota más fuerte, tiene la mayor amplitud o volumen entre el espectro de la cuerda. Y los sistemas lineales NO excitan subarmónicos. Ni siquiera excitan los armónicos para el caso. Las otras cuerdas vibrarán en resonancia simpática con la cuerda que toca, pero solo si los armónicos de la cuerda están presentes en la cuerda que tocó. Y solo vibrarán a la frecuencia de ese armónico. Una advertencia a esto es que el acoplamiento con otras partes del instrumento podría causar el acoplamiento entre diferentes modos debido a la falta de linealidad, tal vez una junta en la madera, etc. causando así el acoplamiento entre armónicos. Pero en su mayor parte, el modelo lineal funciona bien. Por ejemplo, si toco la cuerda E aguda de mi guitarra, y suponiendo que lo ataque de modo que solo esté presente la fundamental (casi posible si usa el pulgar en el traste 12), entonces E causará las siguientes resonancias en las otras cuerdas, n = 4 en la cuerda Mi grave, n = 3 de la cuerda A, nada perceptible en las otras cuerdas aunque E podría estar cerca de un armónico para algunos. La presencia de estas notas adicionales aumentará el volumen de la nota punteada. En cuanto al sostenido, podría pensar que, dado que todos tienen la misma frecuencia, todos sufrirían la misma amortiguación. Esto es cierto. Pero está juzgando la "decadencia" de la nota por si la escucha o no, y la amplitud añadida significa que el sonido no caerá por debajo del umbral de detección durante más tiempo. Por el contrario, si la cuerda E grave se excita de la misma manera, NO provocará una resonancia simpática en las otras cuerdas.

Esto nos lleva a otro punto. Si está usando su oído para hacer este juicio, no confío en nada de eso. El oído humano es altamente no lineal tanto en amplitud como en frecuencia. Nuestros oídos crean armónicos a partir de la entrada. Esto significa que incluso si los armónicos más altos NO están presentes en el sonido, SU OÍDO LOS ESCUCHARÁ. No hay forma de que la física del instrumento pueda cambiar esto. El sistema oído+cerebro escucha las frecuencias más altas mejor que las frecuencias más bajas hasta cierto punto, posiblemente relacionado con el último punto. Los oyentes considerarán que las notas graves y agudas tocadas con la misma fuerza impulsora tienen un volumen diferente. Para una nota de bajo a 100 Hz y una nota alta a 2000 Hz, ambas tocadas en pianissimo, es posible que nadie escuche la nota de bajo. Por lo tanto, cualquier afirmación sobre escuchar notas graves durante más tiempo es sospechosa sin más información.

Puedo decir que en la guitarra simplemente no es cierto que las notas más altas mueran más rápido que las notas más bajas. Por supuesto, hay demasiadas variables para que cualquier respuesta a esta pregunta sea completa y absoluta. Si está realmente interesado en el comportamiento del instrumento musical y en su propio oído, cada variable debe aislarse y cuantificarse la relación de causa y efecto con otras variables antes de intentar hacer afirmaciones generales sobre "el instrumento". Sugeriría mirar un texto como "Física y el sonido de la música" de Rigden o algo no matemático (suponiendo que seas músico y no científico/ingeniero/etc.) de Fletcher y Rossing.

EDITAR:

Como nota final diré esto. La ubicación del martillo en un piano significa que probablemente excitará armónicos de tono más alto con cada nota. Esta es la situación opuesta a la de mi ejemplo de guitarra en el que me imagino tocándola en el centro (como Wes Montgomery). En tales casos, las cuerdas más bajas tendrán la oportunidad de excitar muchas más cuerdas en el arpa, cada una en el armónico más alto. Nuevamente, usando el ejemplo de la guitarra, si toco la cuerda E baja pero la toco cerca del puente, excitaré la cuerda B de la cuerda abierta (n = 3) y la cuerda E alta abierta (n = 4). Estos vibrarán en su modo fundamental de vibración a medida que esas frecuencias coincidan con los armónicos más altos de la E baja. NOTA: tocar cerca del puente es fundamental para que esto funcione bien. Entonces, es posible que las cuerdas más bajas del piano tengan varias octavas de cuerdas que ayuden a sostener los armónicos. Pero otra vez, a medida que el movimiento de las cuerdas muere, me pregunto si es el tono grave fundamental lo que escuchas o el sonido de todos los armónicos. Sería natural asociar este timbre con la cuerda que golpea, pero eso no es necesariamente cierto. Puede que sean todos los demás. Esto de ninguna manera contradice el ejemplo anterior pero sirve para ilustrar la complejidad del instrumento y que con las condiciones correctas se puede observar cualquiera de los dos fenómenos.

Esta es una pregunta realmente interesante y complicada en la simulación física de la dinámica de cuerdas.

En realidad, no es del todo cierto que las notas de tono alto sean más cortas. Hay una tendencia a que los parciales de orden superior ( sobretonos inarmónicos ) decaigan más rápido (se acorten). Pero debido a las complejidades de la afinación del piano y el acoplamiento de cuerdas, no es cierto que si toca cada nota en un piano una tras otra, la siguiente nota más alta siempre decaerá más rápido. Además, encontrará que cada parcial dentro de una nota en particular puede decaer de una manera diferente, y este patrón de decaimiento varía según la nota.

Abordando la parte más simple de la respuesta, una de las razones por las que hay una tendencia a que los parciales de mayor orden decaigan más rápido se puede ver en un modelo simplificado de vibraciones de cuerdas.

La ecuación de onda de una cuerda oscilante simple, con decaimiento, se puede modelar con la fórmula.

La esencia de la fórmula es: el bit de la izquierda, ψ ( x,t ), determina el desplazamiento de la cuerda en algún punto x y en algún momento t . El objetivo de esta ecuación de onda es determinar dónde estará cada punto en todo momento, que es lo mismo que conocer la frecuencia y la amplitud de la vibración. Las cosas dentro del coseno a la derecha pueden ignorarse para esta discusión. Pero lo más importante es la exponencial e ^-κx . κ es proporcional a la frecuencia de la onda. Lo que significa que a medida que aumenta la frecuencia, κsube, lo que significa que el exponente se reduce, por lo que el desplazamiento físico de la cuerda desde el reposo disminuye. En otras palabras, hay un decaimiento que depende de la frecuencia.

Esta no es la historia completa, pero indica que las altas frecuencias pierden energía en el aire más rápido. Sin embargo, existen otras fuentes de descomposición de la energía, como la pérdida en la placa de sonido del instrumento.

Surgen otras complejidades, como el acoplamiento entre cuerdas. Tome un A4, que tiene tres cuerdas. Si las tres cuerdas están sintonizadas exactamente a la misma frecuencia, la tasa de caída será tres veces más rápida que una sola cuerda. Sin embargo, en la práctica, las cuerdas se afinan de forma muy ligeramente diferente, creando tiempos en parciales de orden superior. Si un parcial se descompone más rápido que otros, debido al acoplamiento, transfiere energía a los demás. Así la nota se sostiene mucho más tiempo. A medida que avanza por el piano, de menor a mayor, algunas notas tienen una cuerda, algunas dos y la mayoría tiene tres. Habrá torceduras en el patrón de caída a medida que realiza la transición a través de estas regiones.

El siguiente diagrama proviene del artículo http://matthiasmauch.de/_pdf/cheng2015modelling.pdf y hace un buen trabajo al explicar cómo las notas de piano decaen según sus frecuencias.

Para explicar el gráfico, el eje x es la frecuencia (dada en el índice de notas midi. Para darle una idea de la conversión, MIDI 57 = A3 (220 Hz) y MIDI 69 = A4 (440 Hz)). Cuanto más bajo vayas en el eje y , más rápido será el decaimiento.

Claramente, a medida que se mueve hacia la derecha, los puntos de datos comienzan a moverse hacia abajo (cuanto mayor sea la frecuencia, más rápido será el decaimiento). Pero no hay una curva suave; hay una nube de puntos. Entonces, si toma cualquier punto en el eje x , digamos MIDI 69. Hay una variedad de valores y, es decir, diferentes velocidades de caída. También hay una dispersión de la escala de grises, lo que significa que esta frecuencia decaerá a muchas velocidades diferentes dependiendo de qué tan alto sea el parcial.

Sé que no es una respuesta terriblemente satisfactoria, pero la física subyacente es lo suficientemente compleja como para que no exista una respuesta satisfactoria. La esencia es: por lo general, las frecuencias más altas decaen más rápido, pero no siempre, ¡y hay razones complicadas para ello!

Cuanto más alta sea la cuerda, más corta y delgada. Cuanto más baja sea la cuerda, más larga y gruesa. Las cuerdas más bajas tienen más masa y no sueltan las vibraciones tan rápido como las cuerdas más altas. Además, las cuerdas inferiores tienen más armónicos y más oportunidades de resonar con otras cuerdas en el piano, lo que se suma al sostenido. Si necesita más detalles, probablemente necesitará encontrarlos en un texto de física.

Aparte del momento creciente de las cuerdas de tono más bajo, tenga en cuenta que la fuerza de amortiguamiento es prácticamente la misma para todas las cuerdas durante la vibración libre. Entonces, la tasa de pérdida de energía es la misma para cualquier cuerda. Esto hace que las cuerdas de tono más grave tarden más tiempo en consumir su energía.

Se puede diseñar un instrumento especial que aumente gradualmente la fuerza de amortiguación a medida que la nota desciende, de modo que los tiempos de sostenido se igualen. Sin embargo, en este caso especial, la fuerza de amortiguación del cuerpo resonante del amplificador (por ejemplo, la tabla de madera de una guitarra o un piano, así como la habitación alrededor del instrumento) permanecería igual y proporcionaría un sostenido ligeramente más largo para las notas más graves.

Puede probar este fenómeno en cualquier instrumento de cuerda. Simplemente toque una nota baja y luego deténgala usando sus manos/arco, y repita lo mismo para una nota alta. Escuchará que la nota del bajo resuena más tiempo en el tablero.

También tenga en cuenta que los pianos tienen martillos y amortiguadores más grandes para las notas más bajas por la misma razón. Necesitas generar más energía y luego volver a consumirla.

Otro ejemplo es que, en un piano, puedes escuchar las notas bajas que se sostienen más tiempo que las notas altas cuando levantas el dedo de la tecla.

Consideremos un alambre tendido entre dos postes. Después de golpearlo con un martillo, dos pulsos de ondas se propagan arriba y abajo de la cuerda, uno en cada dirección. Golpean los postes finales, rebotan en la otra dirección, y así sucesivamente; dos pulsos corriendo de un lado a otro a lo largo de la cuerda.

La frecuencia fundamental, es decir, el tono de la cuerda, es la inversa del tiempo de ida y vuelta.

Primero, considere el caso donde la fricción interna de la cuerda es muy baja. Luego, las pérdidas ocurren cuando las ventajas golpean los postes finales. Para vibraciones de mayor frecuencia, esto sucede más rápidamente. Suponiendo que la misma fracción de la energía de onda se pierde de la cuerda (y se transfiere a la placa de sonido) cada vez, esperaría que el sonido se disipe más rápidamente para frecuencias más altas.

Se aplican consideraciones similares cuando se piensa en pérdidas internas: un segmento corto dado de la cuerda se flexiona y luego se aplana a medida que el pulso se mueve a través de él. Y nuevamente, si cada flexión disipa algo de energía, entonces se pierde más energía por unidad de tiempo para cuerdas de mayor frecuencia. Pero esto se confunde por el hecho de que hay más segmentos cortos en una cadena más larga. Una aplicación ingenua de esta lógica lleva a concluir que esto podría resultar en un término de las pérdidas independiente de la frecuencia. (A partir de ahí, puede pensar si las pérdidas internas dependen de la tasa de cambio de la forma...)

Entonces, en primer lugar, manteniendo fijo todo lo que no sea la longitud de la cuerda, esperaría que las cuerdas de tono más alto perdieran energía más rápidamente que las de tono más bajo.

Por supuesto, en un piano real no todo lo demás se mantiene fijo, y luego, cuando comienzas a considerar el hecho de que la percepción del volumen depende de la frecuencia, las cosas se complican rápidamente.

Supongo, pero debido a que vibra a una frecuencia más alta (siendo un tono más alto), la energía puesta en la cuerda al golpearla con la tecla, simplemente se usa más rápido. Todas las teclas, o cuerdas, obtienen la misma cantidad de energía cuando se golpean con una tecla (artificialmente, lo entro en el siguiente párrafo), por lo tanto, una vibración más rápida vibra y se mueve más en un período de tiempo determinado, liberando energía más rápido, por lo tanto, agotándose.

El tamaño de la cuerda difiere, las cuerdas más pequeñas tienen un tono más alto, lo que permite y crea que se mueva o vibre más (rápidamente). Permitiendo que los aguijones grandes almacenen más energía y la liberen más lentamente, en un tono con mayor frecuencia (o menor vibración, o movimiento de ida y vuelta en un tiempo determinado). Las cosas pequeñas requieren menos energía para moverse, por lo que las cuerdas se mueven más, y debido a que el movimiento es más rápido o a un ritmo más rápido, toda la energía se disipa antes que las notas graves grandes/anchas/gruesas. Lo notarás bien; las cuerdas más gruesas deberían ser más difíciles de mover o consumir más energía, o que los pianos tienen 'martillos' que varían en tamaño, cuanto más grave es la nota, más grande es el 'martillo'. Esas dos cosas en realidad se equilibran entre sí. Se utilizan martillos grandes para golpear las cuerdas gruesas porque para obtener el volumen/amplificación de las cuerdas altas se necesita más energía. De alguna manera, esto compensa el hecho de que las cuerdas son más grandes, lo que te deja con el simple hecho de que menos masa requiere menos energía, por lo que la energía se usa mucho más rápido, en forma de vibraciones (a un ritmo más rápido).

El tamaño en realidad no importa, lo que importa es qué tan rápido vibra la picadura, eso es lo que crea las ondas sonoras. Si concentraras más energía en un solo punto y golpearas las picaduras más gruesas, vibrarían más violentamente que con menos energía. Cuanta más vibración, mayor es la frecuencia, lo que equivale a un tono más alto.

No tienes que pensar realmente en el tamaño de la cuerda en cuestión de cuánta energía se necesita para moverse, porque el tamaño del martillo hace eso. Mírelo de más tamaño, o el objeto más pequeño es más fácil de mover, por lo que se mueve más rápido y se queda sin energía primero (no se preocupe por la energía para moverlo, ya que el martillo aumenta con el tamaño de la cuerda, haciendo artificialmente el la cantidad de energía necesaria para mover la cuerda es la misma, pero no la misma cantidad de tiempo)

Lo siento si es difícil de entender, tiene un sentido claro en mi mente, un poco difícil y un poco abstracto para explicarlo, y la forma en que lo pienso.

Espero que sea una respuesta rápida y sencilla al grano.