¿Cuál es la probabilidad de impacto?

Me... me gusta esta pregunta. Lo primero es lo primero, los conjuntos TLE son casi inútiles para la estimación precisa de la probabilidad de colisión, porque no contienen una estimación de la incertidumbre en la órbita, que es en última instancia lo que afecta la probabilidad de colisión.

Entonces, suponiendo que recibe un mensaje completo con un vector de estado de alta precisión y una matriz de covarianza asociada (el estado completo de 6x6 es mejor, pero 3x3 puede funcionar) para cada satélite , hay algunas cosas que puede hacer. Hay bastantes métodos diferentes para estimar esto, busque el trabajo de Alfano y Patera para ver un par de ejemplos.

A lo que se reduce principalmente el problema es a estimar la superposición de la incertidumbre en el momento del acercamiento más cercano. Imagine la "incertidumbre" (en 3 dimensiones) como un elipsoide : si está familiarizado con los conceptos de probabilidad, es su densidad de probabilidad multivariada. Ahora, la probabilidad de colisión se puede considerar como la cantidad de superposición entre esos dos elipsoides. En su situación específica, no tiene información completa sobre el estado y la incertidumbre de ambos objetos, pero aquí se aplican conceptos similares (esencialmente hacen algunas suposiciones y combinan la incertidumbre de los objetos).

Para tratar de responder a sus preguntas más directamente:

1. Supongo que está preguntando qué distancia mínima debe tolerar usted (como operador). Esto es difícil de poner un valor específico. Normalmente, obtiene una estimación de probabilidad de colisión y asigna un umbral en ese espacio, como "cualquier cosa mayor que una probabilidad de colisión de 1e-4 y maniobraremos". En cuanto a qué distancia constituye un "golpe", lo que generalmente se hace es asumir que ambos objetos son esféricos. Esto puede ser difícil si no sabes mucho sobre el otro objeto.

2. Vea arriba los conceptos básicos, pero la implementación obviamente requiere conocimiento de conceptos probabilísticos, dinámica de órbitas y (preferiblemente) técnicas de estimación de estado.

Finalmente, este es en gran medida un tema activo de investigación y, a menudo, hay artículos que describen una "nueva" forma de hacerlo. También debo mencionar que, si bien lo que expliqué a menudo se hace en la práctica, hay varias razones para creer que, de hecho, no proporciona una estimación precisa de la probabilidad de colisión.

Desafortunadamente, la literatura abierta sobre este tema es escasa, pero buscar a los autores que mencioné anteriormente y, de hecho, solo los términos "probabilidad de colisión de satélites" le dará algunos resultados muy útiles si tiene el acceso correcto (artículos de revistas AIAA, por ejemplo). instancia).

Sin embargo, puede estimar esto numéricamente en lugar de analíticamente utilizando métodos de Monte Carlo. Aquí hay una manera rápida y sucia de hacer esto:

1. Muestra de su satélite "primario" (del que obtuvo el informe de conjunción). Para hacer esto, genere un vector aleatorio de distribución normal 3x1 con media cero y varianza unitaria (la normal estándar) . Ahora, tome su covarianza 3x3 para este objeto, encuentre su descomposición de Cholesky (debería poder encontrar una rutina para hacer esto en su paquete de software - 'chol' en Matlab), y multiplíquelo por su vector aleatorio. Ahora ha muestreado su espacio de probabilidad.

2. Repita el #1 para el objeto en conjunción. Sin embargo, una vez que muestrea, debe trasladar cada punto de acuerdo con su posición, que se le proporciona en coordenadas RIC. Simplemente agregue su vector de posición al vector aleatorio.

3. Calcula la distancia entre tus dos muestras. Registra dicha distancia.

4. Repita los pasos 1 a 3 para una gran cantidad de muestras (piense en decenas de miles; generalmente, cuantas más, mejor).

5. Ahora, tienes una lista de "distancias perdidas". Hay un par de cosas que puede hacer con esto, pero una cosa que es particularmente útil es construir una función de distribución acumulativa empírica . Puede buscar cómo hacer esto, pero debería poder encontrar una función para hacerlo en la mayoría de los paquetes de software (en Matlab, es 'cdfplot'). Esto le dará una gráfica que se ve así (solo con x>0):

Ahora, una forma de leer esto es elegir una "distancia perdida" con la que se sienta cómodo (por ejemplo, 20 m) y encontrar el valor de$F(x)$a este valor de$x$. Esa es la probabilidad de que te acerques a 20 mo menos del satélite infractor. Si es mayor que un umbral que ha decidido con su gerencia, comienza la divertida tarea de planificar una maniobra de evasión. Si no, espera y observa. Alternativamente, puede especificar una probabilidad con la que se sienta cómodo y leer una distancia perdida asociada con ella.

Una cosa que notará es que está realmente enfocado en la cola de su trama... y verá que para obtener una representación fluida en la cola, necesita una gran cantidad de muestras. Así que como dije, cuanto más, mejor.

Una última cosa: si has seguido estos pasos, el número de probabilidad que tienes es$1\sigma$. Para, digamos, un$3\sigma$estimación, simplemente multiplique sus dos matrices de covarianza por su factor (en este caso, 3).

La ecuación de la distancia entre los dos objetos es simplemente la magnitud del vector entre sus posiciones. La búsqueda de raíces numéricas se facilita al conocer la derivada analítica, que es

El resultado es qué tan cerca pasarían los dos objetos si supieras todo exactamente , lo que por supuesto no sabes, así que tienes que incluir la incertidumbre en el modelo. La forma en que describimos la incertidumbre en astrodinámica es con matrices de covarianza. Usándolos, expresamos las variables en las ecuaciones como distribuciones de probabilidad normal estándar . La integración sobre esas distribuciones, como en la ecuación que se cita a continuación, calcula la probabilidad de que la distancia de máxima aproximación (DCA) sea menor que algún valor de preocupación especificado por el usuario. Cada covarianza describe una distribución de probabilidad sobre los valores de los parámetros asociados. El cálculo se puede realizar de varias formas, incluido el método Monte Carlo descrito en otra respuesta .a esta misma pregunta. La posición y la velocidad son las que se ven con más frecuencia, pero cualquier cosa que pueda ser desconocida tiene su propia covarianza (que incluye sus correlaciones con las otras variables) y debe integrarse contra una distribución de probabilidad ampliamente representativa de su incertidumbre asociada. En este problema en particular, si uno o ambos objetos no son esferas, entonces la estimación de la actitud y su incertidumbre pueden desempeñar un papel importante si lo desea, o puede descartarlos por conveniencia.

A ese nivel de detalle, todos los algoritmos son iguales. Las diferencias provienen exactamente de qué elecciones hace cada autor para simplificar el cálculo en algo que se pueda hacer con relativa rapidez, sin requerir demasiada recopilación de datos ni sacrificar demasiada precisión. El método descrito en el documento " Probabilidad de colisión en el Centro de Operaciones Espaciales Conjuntas ", de fecha 24 de junio de 2016 (en adelante, PCJ ) se puede utilizar para ilustrar una forma de hacerlo, pero hay muchas otras posibilidades.

La página 3 de PCJ dice que la covarianza se distribuye en el formato descrito en el Estándar recomendado para mensajes de datos de conjunción ( CCSDS 508.0-B-1 , en adelante CDM ) del Comité Consultivo para Sistemas de Datos Espaciales ( CCSDS ). El mejor lugar para comenzar a leerlo es al final, con el Anexo E (páginas 66-70 de 72), ya que define los términos utilizados en todo el documento. Los valores radiales, en la trayectoria y cruzados en el mensaje de conjunción son los componentes del vector que tiene DCA como su magnitud cuando el tiempo es TCA. La forma en que se usan esos términos tanto en CDM como en PCJ, la dirección radial (R) es exactamente radial, por lo que la dirección en la trayectoria (T) no está exactamente alineada con la velocidad, y la trayectoria transversal se denomina N (normal al plano de la órbita).<1>

CDM no especifica cómo se calculará la probabilidad de colisión. En su lugar, proporciona una bibliografía de cinco métodos diferentes y un procedimiento para registrar nuevas opciones para la palabra clave del método. A partir de ahora, la lista completa de la Autoridad de Números Asignados de Espacio (SANA) tiene 14 opciones. De estos, la propia bibliografía de PCJ enumera Foster 1992 (Foster, JL y Estes, HS, A Parametric Analysis of Orbital Debris Collision Probability and Maneuver Rate for Space Vehicles. NASA/JSC-25898. Houston, Texas: NASA Johnson Space Flight Center, agosto de 1992) y Chan 1997 (Chan, K. Collision Probability Analysis for Earth Orbiting Satellites. InCooperación espacial en el siglo XXI: 7º Simposio AAS/JRS/CSA, Conferencia espacial internacional de sociedades de la cuenca del Pacífico (ISCOPS; anteriormente PISSTA) (15 al 18 de julio de 1997, Nagasaki, Japón), editado por Peter M. Bainum, et al., 1033-1048. Avances en la Serie de Ciencias Astronáuticas 96. San Diego, California: Univelt, 1997). PCJ no menciona los métodos más nuevos de Alfano , Alfriend , McKinley y Patera , pero algunos están en CDM .

Las citas de PCJ que responden directamente a sus preguntas específicas incluyen:

determine la distancia más larga que pueden estar separados los centros de masa de los dos satélites y aún así los dos satélites se tocan. Esto define la "distancia de separación especificada" que se utiliza en el$P_c$cálculo. Tenga en cuenta que si los dos satélites no son esferas, entonces un simple cambio de orientación significa que es posible que no se toquen y no se produciría una colisión.

circunscriba los objetos primario y secundario cada uno por una esfera, sume los dos radios de esfera para generar una esfera superior que pueda contener ambas esferas circunscriptoras, y proyecte esta esfera superior en el plano de conjunción como un círculo.

Los valores predeterminados preasignados para cargas útiles y plataformas (5 metros), cuerpos de cohetes y objetos desconocidos (3 metros) y desechos (1 metro) se determinaron mediante un estudio de los tamaños de los objetos en el catálogo de objetos espaciales y se utilizan normalmente.

La matriz de covarianza para cada objeto está referenciada a su propio marco de coordenadas RTN. Para cada objeto, los componentes de la matriz se calculan mediante la interpolación de Lagrange de 5 puntos de la covarianza en el archivo de efemérides producido por el JSpOC, [suponiendo] que los errores primarios y secundarios sean independientes, lo que permite que la covarianza "combinada" sea la suma simple de las covarianzas individuales (en un marco común)

Cálculo de$P_c$tiene lugar en el plano de colisión... perpendicular al vector de velocidad relativa en TCA. Esto reduce las matemáticas de 3D a 2D. la ecuación utilizada para calcular$P_c$es:

$$\frac{1}{2\pi\sqrt{|C|}} \iint_{x^2+y^2 \leq d^2} \exp \left( -\frac{1}{2} (\r-\r_{SP})^T C^{-1} (\r-\r_{SP}) \right) dx\, dy$$

dónde$C$es la proyección 2X2 de la covarianza combinada 3X3 en TCA en el plano de colisión,$|C|$es el determinante de$C$,$C^{-1}$es el inverso de$C$,$d$es la suma de los dos tamaños de objetos,$\r = (x, y)^T$es cualquier punto en el plano de colisión tal que$x^2 + y^2 \leq d^2$, y$\r_{SP}$es la posición del secundario en relación con el primario a lo largo del eje x en el plano de colisión.

El JSpOC utiliza funciones de error (ERF) para calcular la doble integración en el$P_c$ecuación. Además, el JSpOC realiza la integración sobre un cuadrado que circunscribe el círculo de radio.$d$. Este cuadrado está alineado con los ejes de la función de densidad de probabilidad 2D combinada en el plano de colisión. Esto simplifica el cálculo de$P_c$pero da un valor ligeramente mayor.

Cada suposición hecha por PCJ sobreestima intencionalmente el tamaño de los objetos y, por lo tanto, sobreestima intencionalmente el riesgo de colisión, para pecar de enviar demasiadas advertencias en lugar de demasiado pocas. Si realmente sabe cuál es el tamaño, la forma y la orientación de los dos objetos, podría agregar eso a su cálculo, como lo hace Georges Krier en Satellite colision probabilidad for long-term encuentros and arbitrary primario satellite shape (2017), pero para utilizar la información de forma de manera efectiva, necesita tener una buena estimación tanto para los estados de actitud como para las covarianzas en ellos.

Nota al pie <1>: CDM nombra dos marcos diferentes que podrían significar las palabras "radial" e "in-track", pero solo uno de ellos se usa realmente en el formato del mensaje. El que usan lo llaman "RTN", por "Radial, Transversal, Normal". Normal significa vector unitario paralelo al momento angular (velocidad cruzada de posición), Radial significa paralelo al vector que apunta desde el cuerpo central al objeto en órbita (equivalentemente, desde el objeto lejos del cuerpo central), y Transversal significa el vector unitario que completa el sistema de mano derecha, que apunta en el plano de la órbita en algún lugar cercano pero que no coincide exactamente con la velocidad del objeto, excepto en el apogeo y el perigeo, o si la excentricidad es cero. El nombre que le dan al otro marco no lo danquiere que use es "TVN", que significa "Transversal, Velocidad, Normal", donde Normal es lo mismo, la Velocidad coincide exactamente con la dirección de la velocidad instantánea real, y Transversal todavía significa completar el sistema diestro, pero eso significa que apunta en el plano de la órbita en algún lugar cercano pero que no coincide exactamente con el vector de posición radial hacia afuera del objeto, excepto en el apogeo y el perigeo, o si la excentricidad es cero. ¡Naturalmente, estos nombres difieren según el autor que leas! Lo que CDM llama RTN (usado) es llamado UVW por PCJ (nota al pie 13, página 3) y RSW por Vallado (página 157 de la 4ta edición), mientras que lo que CDM llama TVN (no usado) es llamado PTW por PCJ y NTW por Vallado .

El documento https://www.space-track.org/documents/How_the_JSpOC_Calculates_Probability_of_Collision.pdf fue escrito y publicado en 2016. Discute el proceso para el cálculo de la probabilidad de colisión en el Centro de Operaciones Espaciales Combinadas (CSpOC) en la Fuerza Espacial Vandenberg Base en California.