¿Cuál es la intensidad de esta luz?

Estoy luchando con una derivación que calcula las secciones transversales para la dispersión de Mie y dado que la luz incidente se considera una onda plana polarizada en x, pensé que tendríamos

$$I_i = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \vert E_0 \vert^2$$ , pero no entiendo esta derivación entonces, ya que un factor $2 \pi$parece faltar.

Comienza con una expresión para el campo disperso, explica cómo obtuvieron esta expresión usando algunas propiedades de ortogonalidad y luego, en mi opinión, argumentan que esto$Re(g_n)=1$. Pero entonces no entiendo qué toman como intensidad incidente para sacar la expresión$C_{sca}$. Alguien tiene una idea?

$$W_s=\frac{\pi|E_0|^2}{k\omega\mu}\sum_{n=1}^\infty(2n+1)\mathcal{Re}\{g_n\}(|a_n|^2+|b_n|^2),$$ donde hemos usado (4.24) y la relación $$\int_0^\pi(\pi_n\pi_m+\tau_n\tau_m)\sin{\theta}\text{ }d\theta=\delta_{n\text{ }m}\frac{2n^2(n+1)^2}{2n+1},$$ que se sigue de (4.27). La cantidad $g_n$, Se define como - $i\xi_n^*\xi_n^{'}$, puede escribirse en forma $$g_n=(\chi_n^*\psi_n^{'}-\psi_n^*\chi_n^{'})-i(\psi_n^*\psi_n^{'}+\chi_n^*\chi_n^{'}),$$ donde la función de Riccati-Bessel $\chi_n$es - $\rho y_n(\rho)$y por lo tanto, $\xi_n=\psi_n-i\chi_n$. Las funciones $\psi_n$y $\chi_n$son reales para un argumento real; por lo tanto, si usamos el Wronskiano (Antosiewicz, 1964) $$\chi_n\psi_n^{'}-\psi_n\chi_n^{'}=1,\tag{4.60}$$ se deduce que la sección transversal de dispersión es $$C_{sca}=\frac{W_s}{I_i}=\frac{2\pi}{k^2}\sum_{n=1}^\infty(2n+1)(|a_n|^2+|b_n|^2).\tag{4.61}$$