El trabajo que debe realizar (para insertar el tronco) contra la presión del fluido a esa profundidad es igual al trabajo realizado por el fluido para llevar el tronco a la altura deseada.

Si considera un logaritmo de volumen$V$y un tanque de profundidad$h$, la presión a esa profundidad sería$\rho gh$, dónde$\rho$es la densidad del fluido, y$g$la aceleración debida a la gravedad.

El trabajo que debe realizar para insertar el tronco en el fluido a esa profundidad es$\rho ghV$. (la presión por el volumen)

La fuerza de flotación sobre el tronco debida al fluido es$\rho Vg$, por lo que el trabajo realizado por la fuerza de flotación para levantar el tronco una altura$h$es$\rho Vgh$. (la fuerza multiplicada por el desplazamiento, porque la fuerza es constante aquí).

Ambas cantidades son equivalentes, por lo que la fuente de energía aquí eres tú.

Solo para ampliar la gran respuesta de Hritik con un poco más de información física:

Energía como "cosa", fricción en esta imagen.

Muy a menudo podemos definir un campo escalar (un conjunto de números que varía suavemente, uno para cada punto del espacio) que describe todo sobre un patrón de fuerzas. A esto lo llamamos el campo de "energía potencial". Es útil porque se conserva una cantidad llamada energía total , que incluye las energías cinética y potencial de todas las partículas de un sistema.

Ahora tenemos que hablar de la fricción: es la gran situación en la que no se conserva la energía. Pero esto también es muy fácil de entender, porque la fricción conduce a la energía térmica, y se sabe que la energía térmica es solo energía cinética para cosas que no nos importan.

Ejemplo de visualización del mundo en términos de energías

Entonces, si piensas en dejar caer una pelota que rebota desde lo alto de un edificio, es lo mismo que si tuvieras 2 tazas de alguna "cosa" líquida (energía total) en un recipiente (energía de todas las cosas que no te importan). ). Su taza etiquetada como "energía cinética de la pelota" tiene pequeños agujeros perforados a los lados (resistencia al aire). Tu vaso de energía potencial es más grande y está lleno. La naturaleza vierte energía del potencial en la copa cinética al principio, con gotitas saliendo por los lados a medida que los agujeros filtran algo de energía al arrastre del aire. Luego, el nivel del líquido puede llegar a un nivel estable (velocidad terminal) donde el líquido que se vierte es el mismo que sale por esos agujeros. Finalmente, la pelota golpea el suelo, lo que básicamente sacude esta taza de energía cinética, enviando un chorro de líquido al recipiente, antes de que la naturaleza comience a verter la energía cinética de nuevo en la taza de energía potencial. Cuando está vacío (las partículas están al máximo), la naturaleza comienza a verter la energía potencial de nuevo.

El proceso continúa hasta que ambos vasos están vacíos o, más precisamente, cuando ambos han llegado al mismo nivel que el nivel de energía en el recipiente (termalización), que puede no ser 0. (Considere las moléculas de aire cuando golpean el suelo : con suerte, la Tierra los rebota térmicamente con suficiente empuje para subir a la atmósfera superior, de lo contrario, ¡toda nuestra atmósfera está a punto de colapsar!)

Minimización de la energía potencial, flotación

Ahora podemos usar esto como una regla general para la tendencia eventual de las cosas: un sistema eventualmente se encuentra titubeando térmicamente alrededor de un mínimo de energía potencial. Si ignoramos la fluctuación térmica de los grandes sistemas, tenemos que la naturaleza, en general, dirige las cosas para minimizar su energía potencial. Llame a esto el "principio de energía mínima", el universo "quiere" que las cosas estén en su estado de energía (potencial) más bajo, en el sentido de que la energía a menudo se filtrará gradualmente hacia el mundo circundante hasta que esto suceda.

(Tenga en cuenta que también depende del tipo de fricción: la fricción "estática" supera esta tendencia en escalas de tiempo cortas, razón por la cual puede estacionar un automóvil en una colina. Básicamente, en esta imagen del universo, la fricción estática crea pequeña energía potencial pozos cada vez que dos superficies de sólidos deslizantes están en reposo entre sí, ya que los átomos entre estos dos se "enlazan").

Podemos usar esto para averiguar cuándo flota algo : solo pregunte cuáles son las energías totales. Mantengamos el objeto completamente sumergido para que no tengamos que hacer preguntas difíciles sobre cómo baja el nivel del agua cuando sale del agua, etc.

Tienes un objeto, como una caja de cosas, con algo de volumen.$V$y densidad$\rho_o$que puede estar en el fondo del líquido$(h=0)$o la parte superior del líquido$(h=H)$, y el líquido tiene densidad$\rho_\ell.$Sabemos que habrá todo tipo de fuerzas de arrastre complicadas pero el sistema eventualmente minimizará la energía potencial total, y toda la otra energía será calor en el líquido y corrientes de líquido y similares.

Ahora calcula la energía potencial total cuando está en la parte superior:$\rho_o V g H.$Pan comido. (Agregue un término constante$L$para la energía potencial de todo el líquido). Ahora, ¿qué sucede cuando está en el fondo? 0? No.

Bueno, es un poco complicado: no hay lugar para el objeto en$h=0$todavía, está todo lleno de líquido. Cuando el objeto está ahí abajo, desplaza ese mismo volumen .$V$de líquido, sacándolo del espacio que ocupa. ¡Ese líquido finalmente desplaza a otro líquido y así sucesivamente hasta que se llena el "agujero" en la parte superior de la caja! De hecho, podemos abstraer todo esto imaginando que congelamos el tiempo y simplemente cortamos un agujero de volumen del tamaño de una caja.$V$en el liquido en altura$h=0$y toma esa "caja de líquido" e intercámbiala con el objeto. La energía es por lo tanto$\rho_\ell V g H$como esa caja de líquido se movió a la parte superior. Comparando esto con la expresión anterior podemos ver que$V$,$g$y$H$son lo mismo. Nuestro principio de energía mínima dice, por lo tanto, que las cosas flotan cuando$\rho_o < \rho_\ell,$y hundirse cuando$\rho_o > \rho_\ell.$

Además, descubrimos que si algo naturalmente tiene una densidad menor que el líquido, de modo que quiere flotar, una energía total$(\rho_\ell - \rho_o) V g h$será liberado al permitir que flote hacia arriba sea una altura$h$.

(Ahora también podemos entender por qué los troncos prefieren flotar a lo largo: el agua quiere estar más abajo que el tronco, por lo que el tronco intenta concentrar su masa en la superficie del agua. Y podemos entender el caso más general de cosas flotando "fuera" del agua: lo único que nota el agua es el "volumen sumergido"$V_s$por debajo de la línea de flotación, que en lo que respecta al agua soporta toda la masa$m$del barco/log/lo que sea. Entonces tiene una densidad efectiva$\rho_e = m / V_s$-- pero como no flota ni se hunde,$\rho_e = \rho_\ell$y por lo tanto podemos calcular$V_s = m / \rho_\ell$para calcular cuánto volumen se sumerge).

Cómo se aplica esto a su caso

Cuando empuja el tronco al agua, también debe desplazar el agua, esencialmente empujando una "caja" de agua desde el fondo hasta la parte superior de la columna de agua. Esto le cuesta una energía inicial$\rho_\ell~V~g~H$sólo para empujar el registro en el agua.

Ahora suponga que ató el tronco a un hilo de pescar muy delgado pero fuerte, que sale por la parte inferior del aparejo: tira de un volante a través de algún mecanismo de engranaje. Entonces, cada pequeña cantidad de energía que obtiene este sistema al flotar hacia arriba ahora se recolectará en este volante. (¿Tal vez queramos usar esa energía para empujar otros troncos a la columna de agua?)

Bueno, encontramos que gastamos una energía$\rho_\ell~V~g~H$pero en circunstancias ideales recuperamos una energía$(\rho_\ell - \rho_o)~V~g~h,$dejándonos con el déficit neto$-\rho_o~V~g~H$que tenemos que suplir por algún medio externo. Pero... esa es solo la energía que necesitarías suministrar a través de cualquier mecanismo para levantar ese tronco.

Ocurre una situación similar, por ejemplo, si intenta sorber un volumen$V$de líquido en la parte inferior a medida que entra el leño (cero costo para entrar, ¡sí!) y luego déjelo flotar hacia la parte superior. Obtienes levantamiento gratis, ¡hurra! Excepto... ahora has perdido un volumen$V$de su depósito, y si alguna vez desea volver a colocarlo, tendrá que pagar ese costo para levantar un volumen$V$de agua de vuelta a la altura$H.$Acaba de usar la columna de agua como una especie de "cascada" para impulsar el levantamiento del tronco.

Cuando coloca el leño adentro (desde el costado), debe colocar el agua de la posición del leño en otro lugar. El "algún lugar" relevante está en la superficie del tanque, por lo que debe levantar el agua allí (se necesita mucha energía para llevar un volumen logarítmico igual de agua al nivel del techo). La superficie ahora es más alta que antes (el volumen logarítmico igual dividido por el área de la parte superior del tanque).

Cuando el tronco flota hacia arriba, el agua pasa por debajo (aquí hay mucha fricción, algo de energía se convierte en agua más caliente, pero probablemente no lo notará).

Cuando el leño llegue a la parte superior (y todo esté en silencio un tiempo después), el nivel de la superficie del agua será un poco más alto que antes de insertar el leño, ya que el leño aún ocupa algo de espacio en el tanque (lo suficiente como para que un volumen de agua con un peso igual al peso del tronco se desplaza - pregunte a Arquímedes para más detalles).

Finalmente, cuando quita el tronco del techo, regresa el nivel de la superficie a su posición inicial (menos el agua derramada y empapada en el tronco).

Si usa alguna tubería para insertar el tronco y evitar levantar el agua, pero simplemente retírelo por el otro lado, la inserción podría ser más fácil, pero luego habría menos agua en el tanque y levantaría el agua para devolverla. Cuesta la energía que tomaste prestada para levantar el tronco (con el "truco" con tubería).

Hay dos tipos de energía en esta pregunta: energía potencial gravitacional y cualquier fuente de energía que use para subir el agua/bajar el tronco.

Cuando el tronco está en el fondo del tanque, el volumen que ocupa el tronco, su desplazamiento, no puede ser ocupado por agua. Ese mismo volumen de agua está siendo retenido por el tronco. Si ese volumen de agua pesa más que el tronco, crea un potencial energético. En pocas palabras, toda la columna de agua que está encima está siendo retenida por la presencia del tronco. La energía potencial gravitacional almacenada en el agua es lo que se libera cuando sueltas el leño. Efectivamente, esto no es tan diferente del almacenamiento hidroeléctrico tradicional. ¡Es importante tener en cuenta que esto es solo almacenamiento de energía! La energía para levantar el agua tenía que venir de alguna parte.

El otro tipo de energía es la que usaste para levantar el agua por encima del tronco. Ya sea que fuerce el tronco hacia abajo con los brazos (usando la luz solar almacenada como energía química en los alimentos), bombee agua después de asegurar el tronco (electricidad de combustibles fósiles, también luz solar almacenada como energía química) o deje que se llene con agua de lluvia de un arroyo o río natural (elevado hacia el cielo y lleno de energía potencial gravitatoria por el sol... ¿Ya ves un patrón?), ¡la energía tenía que venir de alguna parte!

Como también señaló CR Drost, cualquier método que use tendrá pérdidas de energía, ¡aquí no hay un sistema de energía perpetuo!

Punto adicional: en caso de que se lo pregunte, existen fuentes comunes de energía que no provienen del sol.

La energía geotérmica se escapa del calor de la Tierra, parte del cual es un remanente de su creación (energía potencial gravitatoria convertida en calor por fricción cuando los fragmentos chocan entre sí) y el resto proviene de la descomposición del uranio, plutonio, etc.

La energía de las mareas proviene de la energía cinética de la Tierra: su movimiento. La Tierra está siendo lentamente despojada de impulso por el mar y la luna.

Una pequeña (¿insignificante?) cantidad de energía eólica proviene del efecto Coriolis, también del impulso de la Tierra (la mayoría de la energía eólica proviene de las diferencias de calentamiento en la superficie de la Tierra, causadas por el sol).