¿Cuál es la fórmula para la frecuencia de corte del filtro LCL?

Deberías encontrar un maestro diferente si te enseña palabras incorrectas, que sirven como base para la comprensión futura. Dicho esto, el circuito debe tener una terminación doble (una resistencia como carga y otra como la resistencia de la fuente) o una terminación simple (solo una resistencia como carga o como resistencia de la fuente, y el otro extremo en cortocircuito (o fuente de tensión) o abierta (o fuente de corriente). Esto es lo que quiero decir:

Aes el caso doblemente terminado: la fuente tiene una resistencia y la carga es una resistencia. También puede ser un$\Pi$, pero lo dejé fuera. Ba través Eson de terminación simple. By Ctiene una resistencia finita como carga, pero Btiene una resistencia de entrada cero (fuente de voltaje) mientras que Ctiene una resistencia de entrada infinita (fuente de corriente). Y tienen una resistencia de entrada finita pero la salida es cero (corta, D) o infinita (abierta, ).EDE

Observe cómo las topologías cambian a un$\Pi$cuando se utilizan cajas de terminación simple cuando se abre un lado. Eso es para asegurar que el primer elemento no esté en serie con la fuente de corriente ( C), o la corriente fluirá a través del último elemento ( E).

Esto cambia la función de transferencia para cada caso, ya que se resuelven de manera diferente. No repasaré todos los casos y derivaciones, pero mostraré el caso doblemente terminado ( A), que supongo que es lo que su maestro quiso mostrar. Hay varios métodos que se pueden usar, aquí un análisis de malla simple que le brinda lo siguiente:

$$\begin{align} \left\{ \begin{array}{x} R_o&=sL_1I_1+\frac{I_1-I_2}{sC_1}+R_iI_1 \\ \frac{I_1-I_2}{sC_1}&=sL_2I_2+RoI_2 \end{array} \right. \end{align}$$

Resuelva para las corrientes y mantenga solo las$I_2$solución (ya que eso es de interés), que te da la función de transferencia:

$$\begin{align} H(s)&=\frac{R_o}{C_1L_1L_2s^3+(C_1L_1R_o+C_1L_2R_i)s^2+(C_1R_iR_o+L_2+L_1)s+R_o+R_i} \\ {}&=\frac{\frac{R_o}{L_1L_2C_1}}{{{s}^{3}}+\frac{\left( {L_1}\, \mathit{R_o}+{L_2}\, \mathit{R_i}\right) \, {{s}^{2}}}{{L_1}\, {L_2}}+\frac{\left( {C_1}\, \mathit{R_i}\, \mathit{R_o}+{L_2}+{L_1}\right) s}{{C_1}\, {L_1}\, {L_2}}+\frac{\mathit{R_o}+\mathit{R_i}}{{C_1}\, {L_1}\, {L_2}}} \end{align}$$

Dado que este es un filtro pasivo, habrá una atenuación en la salida en forma de$\frac{R_o}{R_o+R_i}$, que se puede ver en la función de transferencia anterior como los numeradores de los coeficientes de la potencia cero tanto en el numerador como en el denominador, dejándote con el término$\omega^3=\frac{1}{L_1L_2C_1}$, que es la frecuencia de esquina (corte).

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Como una ligera generalización, descubrirá que, al menos para las topologías de escalera LC ( redes de Cauer ), el$\omega^n$(o frecuencia de esquina) suele ser el producto de los elementos LC: para segundo orden es$\frac{1}{L_1C_1}$, para el 3 está arriba, para el 4$\frac{1}{L_1L_2C_1C_2}$, etc. Esto también es válido para funciones de transferencia polo-cero; Las redes Cauer son solo para todos los polos.

Sobre la base de la respuesta dada por un ciudadano preocupado , he aplicado las técnicas de circuitos analíticos rápidos o FACT como alternativa a la serie de ecuaciones dadas en el texto. Al dividir el circuito A en una serie de pequeños dibujos individuales, puede determinar esta función de transferencia de tercer orden por inspección, sin escribir una línea de álgebra. El proceso se describe en el libro que escribí sobre el tema.

El principio es simple: determine las constantes de tiempo naturales del circuito para una excitación puesta a cero ($V_{in }=0$, la fuente se sustituye por un cortocircuito) en diferentes configuraciones. Todos los bocetos están reunidos en el siguiente dibujo:

No hay nada misterioso aquí, simplemente rompa el circuito en pedazos pequeños donde sus elementos de almacenamiento de energía se establezcan en su estado de CC (un cap. está en circuito abierto y un inductor se reemplaza por un cable) o en su estado de alta frecuencia (un cap. se cortocircuita mientras se reemplaza un inductor por un circuito abierto). El ejercicio consiste en "mirar" a través de los terminales del elemento acumulador de energía considerado para determinar la resistencia$R$conducir ese elemento. La constante de tiempo es por lo tanto$\tau=RC$o$\tau=\frac{L}{R}$. Luego, ensambla todos estos elementos para definir el denominador expresado como:

$D(s)=1+sb_1+s^2b_2+s^3b_3=1+s(\tau_1+\tau_2+\tau_3)+s^2(\tau_1\tau_{12}+\tau_1\tau_{13}+\tau_2\tau_{23}+s^3\tau_1\tau_{12}\tau_{123}$.

Para probar esta expresión, generalmente determino la fórmula de fuerza bruta usando un generador de Thévenin y grafico las diferencias en magnitud y fase. Si la diferencia con Mathcad está en el rango pico, está bien. Si no, identifico el boceto culpable y lo arreglo. El resto permanece intacto y esa es la belleza de los FACT: si cometes un error, no vuelves a empezar desde cero y solo modificas la parte culpable de la desviación. La hoja de Mathcad está a continuación:

Luego traté de reelaborar la forma polinomial de tercer orden en un filtro de primer orden en cascada seguido de un polinomio de segundo orden considerando que una raíz domina a alta frecuencia mientras que otras dos están bastante cerca (con los valores de los componentes adoptados, por supuesto). Recuerde, el objetivo es un análisis orientado al diseño o D-OA: la ecuación debe reflejar las necesidades del diseñador para calcular los valores de los componentes, como una frecuencia de corte o una atenuación conocida en CC. Por lo tanto, es importante formatear el resultado en una forma de baja entropía que revele naturalmente estos parámetros. El resultado se muestra a continuación:

Finalmente, como siempre, compruebo que la respuesta basada en constantes de tiempo es exactamente la misma que me da la basada en Thévenin de fuerza bruta:

En primer lugar, su problema está subdefinido porque necesita presentar una impedancia de carga en un lado y una impedancia de fuente en el otro. Estas impedancias normalmente se consideran resistencias. Luego, antes de saltar al análisis de la red T completa, divide el problema en dos mitades, es decir, divide el problema en dos L-Pads como este: -

Y reconoce que se trata de un transformador de impedancia en el que la impedancia de la fuente de la izquierda coincide con una impedancia más alta de la derecha. La calculadora de este sitio web le brinda las fórmulas, la derivación y una calculadora para el L-PAD básico: -

Y la siguiente parte del proceso es reconocer que dos de estos filtros L-Pad colocados uno al lado del otro forman una red en T como esta: -

$R_X$es una impedancia fantasma que representa la impedancia de salida del L-Pad izquierdo y la impedancia de entrada del L-Pad invertido de la mano derecha. No juega un papel en el diseño final, pero puede remodelar la respuesta, por lo que debe tenerse en cuenta.$R_X$es mas alto que los dos$R_{IN}$y$R_L$.

Una vez que haya obtenido la fórmula para un solo L-Pad, combine L-Pads consecutivos para crear una red en T (tenga en cuenta que los dos capacitores en paralelo se convierten en un componente). En la red T final (con la misma impedancia de entrada y salida),$L$es el mismo valor calculado en el L-Pad y$C$El valor de se duplica (porque combina dos condensadores en uno).

Las únicas variables son: -

• $\omega$, la frecuencia en la que la coincidencia es realmente resistiva y también representa la frecuencia en la que se activa el filtrado de paso bajo. Esta es posiblemente la fórmula que pide su profesor.
• $R_L$- generalmente emparejado con$R_{IN}$
• $R_{IN}$
• $R_X$- la impedancia fantasma que representa la impedancia de salida del L-Pad izquierdo y la impedancia de entrada del L-Pad invertido de la mano derecha.

y normalmente$R_{IN}$y$R_L$generalmente se mantienen iguales. Esto permite que varias redes T se conecten en cascada para lograr un rendimiento de filtro fenomenal con muy poca matemática adicional: la matemática principal está en el L-Pad básico.