¿Cuál es la diferencia entre los números cuánticos "aditivos" y los números cuánticos "multiplicativos"?

Aproximadamente, un número cuántico aditivo es el registro de un número cuántico multiplicativo correspondiente.

Matemáticamente, esto proviene de la diferencia entre las representaciones de un grupo y un álgebra de Lie; en el primero la operación natural es la multiplicación y en el segundo la suma. Muchos números cuánticos que nos interesan provienen de grupos de simetría continuos, que tienen álgebras de Lie, por lo que usamos números aditivos. Algunas, como la paridad, son simetrías discretas y los grupos discretos no tienen álgebras de Lie, obligándonos a usar las multiplicativas.

Si eso fue demasiado matemático y poco claro, aquí hay un buen ejemplo.

Considere una partícula libre que vive en un círculo. El grupo de simetría es$U(1)$, correspondiente a las traducciones. El número cuántico natural a utilizar es el valor propio del operador de momento$\hat{p}$, que genera rotaciones infinitesimales. Y si tienes dos partículas, cuyos valores propios son$p_1$y$p_2$, la cantidad de movimiento total en el sistema es$p_1+p_2$. Esto es, con suerte, obvio.

Sin embargo, no es del todo trivial. Considere traducir el estado$|p_1,p_2\rangle$por un ángulo$\theta$. El operador que hace esto es el producto de los correspondientes operadores de traducción.

Así, a pesar de que la traducción se realiza por el producto de los operadores de traducción, el valor propio es la suma de los valores propios. ¿La razón? Hay un operador de traducción infinitesimal y dos traducciones infinitesimales se componen sumando. Para ver esto claramente, considere el caso anterior con$\theta \ll 1$y expande la exponencial.

Ahora, supongamos que viniera un demonio maligno y discretizara el círculo en$N$puntos. En este nuevo sistema, no existe tal cosa como una rotación infinitesimal, ya que el punto más cercano es un ángulo$2\pi/N$lejos. Dado que no existe tal operación, realmente no se trata de usar su valor propio para etiquetar sus estados.

Sin embargo, el salto sigue siendo una simetría y, por lo tanto, proporciona un buen número cuántico. Mirando de nuevo la ecuación anterior, puedes ver que los valores propios de$e^{i \hat{p} \theta}$se multiplicó cuando realizamos una rotación conjunta. Como no se trata de tomar$\theta \ll 1$, no hay operadores cuyos valores propios sean números cuánticos aditivos. Sin embargo, el operador de traducción finito nos da un número cuántico multiplicativo .

Y finalmente, debo advertirles que en general los números cuánticos no necesitan sumarse ni multiplicarse de manera fácil, si el grupo de simetría no es abeliano. El dolor involucrado además del momento angular es precisamente porque el grupo correspondiente$\mathrm{SO}(3)$es no abeliano.

La energía cinética de dos partículas libres es aditiva: la energía total es solo la suma de las energías individuales:

Otro ejemplo es la carga: la carga de un sistema multipartícula es la suma de las cargas individuales.

La paridad es multiplicativa: la paridad de un sistema de dos partículas es el producto de las paridades de las partículas individuales: