¿Cuál es la diferencia entre los estados máximamente entrelazados y máximamente mixtos?

Supongamos que tenemos dos espacios de Hilbert$\mathcal{H}_A$y$\mathcal{H}_B$. Un estado cuántico en$\mathcal{H}_A$es un operador de clase de rastreo positivo normalizado$\rho\in\mathcal{S}_1(\mathcal{H}_A)$. Si$\mathcal{H}_A$es de dimensión finita (es decir$\mathbb{C}^n$), entonces un estado cuántico es solo una matriz semidefinida positiva con un rastro unitario en este espacio de Hilbert. Sigamos con las dimensiones finitas por simplicidad.

Consideremos ahora la idea de un estado puro: un estado puro es un estado de rango uno, es decir, una proyección de rango uno o una matriz que se puede escribir como$|\psi\rangle\langle \psi|\equiv\psi\psi^{\dagger}$para algunos$\psi\in\mathcal{H}_A$(la primera es la notación de Dirac, la segunda es la notación matricial matemática habitual, ya que no sé con cuál de las dos estás más familiarizado, déjame usar ambas). Un estado mixto es ahora una combinación convexa de estados puros y, en virtud del teorema espectral, cualquier estado es una combinación convexa de estados puros. Por lo tanto, un estado mixto se puede escribir como

$$\rho=\sum_i \lambda_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i|$$ para algunos $\lambda_i\geq 0$, $\sum_i \lambda_i=1$. En cierto sentido, el $\lambda_i$son una distribución de probabilidad y el estado $\rho$es una "mezcla" de $|\psi\rangle\langle\psi|$con pesas $\lambda_i$. Si asumimos que el $\psi_i$forman una base ortonormal, entonces un estado de máxima mezcla es un estado donde el $\lambda_i$son la distribución de probabilidad uniforme, es decir $\lambda_i=\frac{1}{n}$si $n$es la dimensión del estado. En este sentido, el estado es máximamente mixto, porque es una mezcla donde todos los estados ocurren con la misma probabilidad. En nuestro ejemplo de dimensión finita, esto es lo mismo que decir que $\rho$es proporcional a la matriz identidad.

Tenga en cuenta que se define un estado de máxima mezcla para todos los espacios de Hilbert. Para considerar estados entrelazados al máximo , necesitamos tener una bipartición del espacio de Hilbert, es decir, ahora consideramos estados$\rho\in\mathcal{S}_1(\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B)$. Supongamos$\mathcal{H}_A=\mathcal{H}_B$y de dimensión finita. En este caso, podemos considerar el estado entrelazado. Un estado se llama separable , si se puede escribir como una mezcla

$$\rho =\sum_i \lambda_i \rho^{(1)}_i\otimes \rho^{(2)}_i$$ es decir, es una mezcla de estados del producto $\rho^{(1)}_i$en el espacio $\mathcal{H}_A$y $\rho^{(2)}_i$en el espacio $\mathcal{H}_B$. Todos los estados que no son separables se llaman entanglend . Si consideramos $\mathcal{H}_A=\mathcal{H}_B=\mathbb{C}^2$y denote la base estándar por $|0\rangle,|1\rangle$, un estado entrelazado viene dado por

$$\rho= \frac{1}{2}(|01\rangle+|10\rangle)(\langle 01|+\langle 10|)$$ Puedes intentar escribirlo como un estado separable y verás que no es posible. Tenga en cuenta que este estado es puro, ¡pero los estados entrelazados no necesitan ser puros!

Resulta que para los sistemas bipartitos (si consideras tres o más sistemas, esto ya no es cierto), puedes definir un orden en estados entrelazados puros : hay estados que están más entrelazados que otros y luego hay estados que tienen el cantidad máxima de posible enredo (como el ejemplo que anoté arriba). No describiré cómo se hace esto (es demasiado aquí), pero resulta que hay una caracterización fácil de un estado de enredo máximo, que conecta estados de enredo máximo y de mezcla máxima:

Un estado bipartito puro está entrelazado al máximo si la matriz de densidad reducida en cualquiera de los sistemas está mezclada al máximo.

La matriz de densidad reducida es lo que queda si toma el rastro parcial sobre uno de los subsistemas. En nuestro ejemplo anterior:

$$\rho_A = tr_B(\rho)= tr_B(\frac{1}{2}(|01\rangle\langle 01|+|10\rangle\langle 01|+|01\rangle\langle 10|+|10\rangle\langle 10|))=\frac{1}{2}(|0\rangle\langle 0|+|1\rangle\langle 1|)$$

y la última parte es exactamente la identidad, es decir, el estado se mezcla al máximo. Puedes hacer lo mismo con$tr_A$y ver que el estado$\rho$por lo tanto, está enredado al máximo.

Vea los siguientes ejemplos:

1. $\rho_1 = \frac{1}{2}(|00\rangle + |11\rangle)(\langle 00| + \langle 11|)$es un estado de enredo máximo.

2. $\rho_2 = \frac{1}{2} (|0\rangle \langle 0| + |1\rangle \langle 1|)$es un estado máximamente mixto.

La diferencia no está relacionada con "máximamente". Su pregunta se puede cambiar a:

¿Cuál es la diferencia entre "enredado" y "mixto"?

En pocas palabras: "enredado" es una relación entre dos sistemas (o subsistemas), mientras que "mixto" es una propiedad de un sistema.

Cuando el espacio de estado de un sistema se puede expresar como un producto tensorial de los espacios de estado de los componentes individuales del sistema, un estado entrelazado es aquel que no se puede expresar como un producto tensorial de los estados de esos componentes individuales. Así, un estado entrelazado es un tipo particular de estado (puro, es decir, no mixto).

Un estado mixto, por el contrario, es una distribución de probabilidad sobre estados puros. Esto tiene mucho sentido tanto si el espacio de estados se descompone como un producto tensorial como si no.

Entonces, un estado entrelazado es un estado mixto solo en el sentido degenerado de que la distribución de probabilidad se concentra en un solo punto. Por supuesto, también puede tener una mezcla no trivial de estados entrelazados.