Importancia del segundo foco en órbitas elípticas

El segundo foco (vacío) es relevante en la teoría de las mareas. En una órbita elíptica, la línea que une el planeta y el foco vacío gira a la misma frecuencia que el movimiento medio del planeta; por lo tanto, si el período de rotación de espín es igual al período orbital (el planeta está bloqueado en una rotación síncrona), el planeta gira con una cara apuntando al foco vacío.

Es importante destacar que una protuberancia de marea intentará apuntar al objeto masivo (el foco ocupado) mientras que el propio planeta apuntará al foco vacío, lo que provocará una "marea libracional".

Es posible calcular la posición del segundo foco dado solo el radio vector y el momento del cuerpo. Para este propósito, considere el vector de Laplace-Runge- Lenz$\vec{A}$.

Si estás en el foco "principal" (el que tiene el centro de atracción), entonces$-\vec{A}$apunta en la dirección del segundo foco. La longitud de este vector es$|\vec{A}| = mke$. Por lo tanto, la posición del segundo foco viene dada por :
$\vec{R}_{F2}= -2a\vec{e}= -\frac{2\vec{e}}{1-e^2}\frac{L^2}{mk}=-\frac{2L^2\vec{A}}{m^2k^2-|A|^2}$

Yo uso las notaciones de Wikipedia:
$e$-- es la excentricidad y$\vec{e}$-- es el vector de excentricidad
$L = \vec{r}\times\vec{p}$-- momento angular
$k$-- es un parámetro que describe la fuerza de la fuerza central$a$-- semieje mayor

Finalmente, sustituyendo$A^2=m^2k^2+2mEL^2$($E$es negativo):
$\vec{R}_{F2}=\frac{\vec{A}}{mE}$
o
$\vec{R}_{F2}=\frac{\vec{p}\times\vec{L}}{mE}-\frac{k\vec{r}}{Er}$

El resultado es notablemente simple: es el vector LRL dividido por la masa*Energía.

Aunque no puedo inventar una interpretación intuitiva para ello.

Tus suposiciones son correctas. La solución clásica al problema de los dos cuerpos es que cada masa sigue una órbita elíptica y un foco de cada elipse está en el centro de masa.

En el caso especial de que la distancia desde el centro de masa a cada cuerpo permanezca constante, eso significa que ambas órbitas son circulares, siendo un círculo un caso especial de una elipse. Tenga en cuenta que los radios de los dos círculos no serán iguales a menos que los objetos tengan la misma masa.

Finalmente, no puedo pensar en ninguna relevancia física para el segundo foco, incluso en el caso límite de que una de las masas sea mucho más grande que la otra (y por lo tanto permanezca en reposo en el primer foco). En particular, no es un punto de Lagrange.

Tuve una breve idea de que si colocas otra gran masa fija en el segundo foco, podrías mantener la misma órbita elíptica, pero de hecho esto es incorrecto porque la órbita dependiente del tiempo no es simétrica entre los dos focos (la pequeña masa pasa más tiempo lejos de la gran masa), por lo que no puede superponerlos para obtener otra órbita elíptica simple. La solución al problema circular restringido de los tres cuerpos (problema de los tres cuerpos de Euler) no es una elipse.

Entonces, básicamente, el segundo enfoque es solo una curiosidad y no es físicamente relevante.