¿Cuál es la base del principio de Huygens?

La base del principio de Huygens es esencialmente la observación de que la función de Green para la ecuación de onda de Helmholtz es la fuente de onda esférica

$$\psi_G(\vec{r})=\frac{e^{i\,k\,r}}{r}$$

Dado que las ondas sonoras aproximadamente monotonales también cumplen la ecuación de Helmholtz, el razonamiento siguiente y, por lo tanto, el principio de Huygens, también se aplica exactamente a ellas.

Un cálculo simple para mostrar que uno puede sumar el efecto de dichas fuentes en un frente de onda y obtener aproximadamente la respuesta correcta es el siguiente. Nos fijamos en una región semi-infinita$V$con límite$\partial V$. Solo una parte de ese límite: una abertura$A$- tiene una perturbación significativamente distinta de cero$\psi(\vec{r})$. Deseamos encontrar$\psi$en alguna posición$\vec{r}_0$lejos de la abertura. Consideramos dos funciones$\psi(\vec{r})$y la función de Green$\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)$y formar el campo vectorial$\psi(\vec{r})\,\nabla \psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)-\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)\,\nabla \psi(\vec{r})$y luego inserte esta pequeña bestia en el teorema de la divergencia de Gauss para una superficie que comprende (1) el límite$\partial V$, que, por suposición, para este cálculo es lo mismo que simplemente la apertura$A$(porque el campo es por suposición pequeño en otros lugares) y (2) una pequeña esfera de radio$\epsilon$que extirpa la singularidad en$\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)$en$\vec{r}_0$. Entonces estamos aplicando el teorema de la divergencia a la parte del volumen dentro$\partial V$eso está fuera de la pequeña esfera de "cuarentena". El teorema de la divergencia produce:

$$\int_{\partial V} (\psi(\vec{r})\,\nabla \psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)-\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)\,\nabla \psi(\vec{r}))\cdot \hat{n} \,\mathrm{d} S = -4\,\pi\,\psi(\vec{r}_0) + \int_V (\psi(\vec{r})\,\nabla^2 \psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)-\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)\,\nabla^2 \psi(\vec{r}))\,\mathrm{d} V + O(\epsilon) = -4\,\pi\,\psi(\vec{r}_0) + O(\epsilon)$$

donde el$-4\,\pi\,\psi(\vec{r}_0)$término (recuerde que$\psi(\vec{r}_0)$es lo que queremos encontrar) proviene de la integral de superficie de la pequeña esfera de cuarentena y la integral de volumen se desvanece porque ambos$\psi$y$\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)$cumplir la ecuación de Helmholtz fuera de la esfera de cuarentena. Entonces puede ver que lo que nos queda es eso (después de tomar el límite como$\epsilon\to 0$):

$$\psi(\vec{r}_0) \propto \int_A (\psi(\vec{r})\,\nabla \psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)-\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)\,\nabla \psi(\vec{r}))\cdot \hat{n} \,\mathrm{d} S \approx \int_A \frac{\exp(i\,k|\vec{r}-\vec{r}_0|)}{|\vec{r}-\vec{r}_0|}(i\,k\,\psi(\vec{r})\,\cos(\theta(\vec{r}))-\nabla \psi(\vec{r})\cdot \hat{n}) \,\mathrm{d} A$$

que, bajo varias aproximaciones, conduce al principio de Huygen (testigo del primer término, que resume la onda esférica$\exp(i\,k|\vec{r}-\vec{r}_0|)/|\vec{r}-\vec{r}_0|$ponderado por el valor del campo$\psi(\vec{r})$en la apertura.$\cos(\theta(\vec{r}))$es responsable del llamado factor de oblicuidad .

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¿Puede su explicación, por favor, simplificada al nivel de la escuela secundaria? Lo siento, pero no puedo seguir las matemáticas.

Disculpas de mi parte entonces. Es una buena idea indicar el nivel de uno en la pregunta: su propia pregunta está bien formulada y cuidadosamente, por lo que en realidad parece alguien más avanzado que la escuela secundaria. Describa su nivel en términos de lo que sabe en lugar de la edad, ya que tenemos varios físicos adolescentes en este sitio que se acercan al nivel de posgrado.

De todos modos, tendrá que contentarse con la explicación de que se postuló el principio de Huygenspor Huygens como una "conjetura" para explicar la naturaleza de las ondas. Entendió el principio de superposición lineal: que la perturbación causada por la suma de ondas es la suma de las perturbaciones individuales y así entendió, por ejemplo, que una línea de puntos de radiación podría sumarse para producir un frente de onda plano. En el siglo XIX, los matemáticos propusieron una descripción rigurosa de estos pensamientos: el método de la función de Green es esencialmente la construcción de soluciones generales para ecuaciones lineales mediante la superposición lineal de "soluciones fundamentales". Y mira, si averiguas cuál es la "solución fundamental" para la ecuación de onda monocromática (ecuación de Helmholtz), resulta ser un emisor de punto de onda esférica, exactamente como había adivinado Huygens.

Entonces, el principio de Huygens funciona para cualquier fenómeno descrito por la ecuación de Helmholtz. Esto incluye ondas de luz, sonido y agua (en ciertas aproximaciones). La ecuación de Helmholtz es otra forma de la ecuación de onda de D'Alembert que es válida cuando las ondas son aproximadamente monocromáticas o monotonales. Incluso en la teoría cuántica de campos moderna, donde las ecuaciones relevantes no son ecuaciones de onda, ciertas integrales de trayectoria aún se calculan mediante métodos similares a los de Huygens.