¿Por qué el principio de Huygens solo es válido en un número impar de dimensiones espaciales?

Debe observar la forma de la solución fundamental avanzada de la ecuación de D'Alembert, construida en conjuntos abiertos geodésicamente convexos, incluida la fuente localizada en el evento.$y$y el punto de prueba localizado en el enent$x$recibiendo la onda generada por la fuente. La construcción, al menos para variedades analíticas con métricas analíticas, se obtiene sumando una buena serie descubierta originalmente por Hadamard (y manejada por Riesz en realidad; de hecho, hay un artículo maravilloso en francés de Riesz sobre esta construcción fantástica en la actualidad que relaciona la teoría del núcleo de calor con QFT en la curva espacio-tiempo). Los resultados de Hadamard-Riesz han sido extendidos al caso suave por varios autores modernos (ver los libros de texto de Guenther y Friedlander). La serie, si la dimensión da lugar a una solución fundamental que contiene un término que se apoya completamente en el cono de luz que emana de$y$. Por lo tanto, refiriéndose únicamente a este término, las soluciones de la ecuación de D'Alembert emitidas por$y$se propaga a lo largo de geodésicas nulas para alcanzar$x$de$y$. Esto básicamente es el principio de Huygens.

Si la dimensión es par y la variedad no es plana o la dimensión es impar, aparecen otros términos añadidos al localizado en el cono de luz. El "fenómeno matemático" subyacente es más o menos el mismo, en espacio-tiempo plano, al sumar una masa al operador de D'Alembert, pasando así a la ecuación de Klein-Gordon que no obedece al principio de Huygens.

El punto relevante es que este término adicional ahora está soportado dentro del futuro cono de luz que emana de$y$. En este caso hay una contribución a las soluciones de onda emitidas por$y$propagándose a lo largo de geodésicas temporales desde$y$a$x$, y el principio de Huygens falla.

Creo que esto se originó con Hadamard y su Método de Descenso. Véanse las conferencias sobre el problema de Cauchy en ecuaciones diferenciales parciales lineales, a partir de la página 7. Sus resultados fueron que las ondas en dos dimensiones no se propagaban bruscamente, sino que tenían una estela (una cola, ..). P.ej. una onda circular que se propaga en un espacio bidimensional frente a una onda esférica que se propaga en un espacio tridimensional donde se propagaría limpiamente sin estela.

Hadamard esencialmente tomó un corte a través de una onda cilíndrica en tres dimensiones para obtener una onda circular en dos dimensiones (una dimensión descendente). La gente ha tomado la propagación sin estela como un criterio para satisfacer el Principio de Huygens.

Así que este es el origen del 'por qué', si acepta los resultados de Hadamard.

Esta es una versión más detallada de la respuesta de @tparker.

Suponer$\phi(x,t)$es una solución esféricamente simétrica de la ecuación de onda que satisface las condiciones iniciales

Entonces tenemos:

Teorema 1: Si el número de dimensiones es impar,$\phi(x,t)$está totalmente determinada por los valores de$f$en el ``cono de luz'' pasado de$(x,t)$.

Teorema 2: Si el número de dimensiones es par,$\phi(x,t)$depende de los valores de$f$tanto sobre como dentro del cono de luz pasada de$(x,t)$.

Más precisamente, deja$M(x,t)$ser el valor medio de$f$en la esfera de radio$t$alrededor$x$. Entonces los teoremas 1 y 2 se siguen de:

Teorema 1$'$: Si el número de dimensiones es impar,$\phi(x,t)=t M(x,t)$.

Teorema 2$'$: Si el número de dimensiones es par, entonces

Entonces, en muchas dimensiones uniformes, el valor medio de f en cada esfera de cada radio desde$0$a$t$contribuye a la solución, mientras que en extrañas muchas dimensiones, sólo la esfera de radio$t$contribuye En particular, en muchas dimensiones uniformes (pero no en muchas impares), una perturbación inicial en el origen puede tener efectos en$x$mucho después de que haya pasado la cresta de la ola inicial.

teoremas$1'$y$2'$no son demasiado difíciles de probar, pero podría ser más esclarecedor considerar la intuición subyacente. A saber:

Dados los datos iniciales para (digamos) una onda bidimensional, podemos crear datos iniciales para una onda tridimensional usando los mismos datos y haciéndolos independientes de la tercera coordenada, que llamaré$z$.

Ahora bien, si resolvemos el problema tridimensional, deberíamos obtener una solución independiente de$z$; restringiendo al plano, hemos resuelto nuestro problema bidimensional.

Bajo esta operación, si nuestros datos iniciales se concentran cerca del origen del problema 2D, se concentrarán a lo largo del$z$-eje para el problema 3-D. Así que desde cada punto a lo largo de la$z$-eje, obtenemos una esfera tridimensional en expansión de onda distinta de cero.

Ahora considere un punto$P$en el avión. Cada una de nuestra matriz vertical de esferas en expansión eventualmente pasará a través del punto$P$. Es por eso que habrá valores de onda distintos de cero en curso en el punto$P$(y explica exactamente por qué es todo lo que está dentro del cono de luz pasado, no solo en el cono de luz, lo que importa en un evento dado).

El principio de Huygen es básicamente equivalente al hecho de que la función de Green$G(s)$para la ecuación de onda solo tiene soporte en$s = 0$, dónde$s$en el intervalo de espacio-tiempo invariante. En otras palabras, las señales solo pueden propagarse exactamente en el cono de luz y no dentro del cono de luz: viajan a la velocidad de la luz/sonido sin dejar una "estela" detrás de ellas. El hecho de que esta propiedad solo se mantenga en dimensiones espaciales impares es un ejercicio bastante sencillo de integración de contornos complejos, como se demuestra, por ejemplo, en https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02903572 .